Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13817
2020-03-29 
По непроводящему кольцу радиусом $R$ равномерно распределен заряд с линейной плотностью $\rho$. В центре кольца находится точечный заряд $q$ массой $m$. Найдите период $T$ малых колебаний этого заряда в плоскости кольца.
Решение:
Если сместить заряд $q$ из положения равновесия в центре кольца на малое расстояние $x$ в плоскости кольца, то на этот заряд будет действовать возвращающая электрическая сила $F = qE$, где $E$ - напряженность поля, создаваемого кольцом на расстоянии $x$ от центра. Для расчета $E$ рассмотрим цилиндр малой высотой $h$ и радиусом $x$, нижнее основание которого лежит в плоскости кольца, а центр этого основания совпадает с центром кольца (рис.). В силу симметрии кольца поле в центре верхнего основания направлено вдоль оси цилиндра, а напряженность $E_{0}$ этого поля можно найти по принципу суперпозиции, разбив кольцо на множество точечных зарядов:
$E_{0} = \frac{ \rho \cdot 2 \pi R}{ 4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + h^{2} ) } \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2} } } = \frac{ \rho h}{2 \epsilon_{0}R^{2} }$.
Из условия малости $h$ и $x$ по сравнению с $R$ следует, что во всех точках боковой поверхности цилиндра перпендикулярная составляющая поля примерно равна $E$, а во всех точках верхнего основания она примерно равна $E_{0}$. Отсюда находим потоки поля $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ через боковую поверхность и через верхнее основание цилиндра соответственно:
$\Phi_{1} \approx - E \cdot 2 \pi xh, \Phi_{2} \approx E_{0} \cdot \pi x^{2}$.
Поток поля через нижнее основание отсутствует, а внутри цилиндра зарядов нет, поэтому из теоремы Гаусса следует, что
$\Phi_{1} + \Phi_{2} = 0$,
откуда получаем
$E = \frac{ \rho x}{4 \epsilon_{0}R^{2} }$, и $F = qE = \frac{q \rho x}{4 \epsilon_{0}R^{2} }$.
Сила $F$ прямо пропорциональна смещению $x$, поэтому можно определить эффективную жесткость $k = \frac{F}{x}$ и найти период колебаний по формуле для пружинного маятника:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} = 4 \pi R \sqrt{ \frac{ \epsilon_{0}m }{ \rho q} }$.
По непроводящему кольцу радиусом $R$ равномерно распределен заряд с линейной плотностью $\rho$. В центре кольца находится точечный заряд $q$ массой $m$. Найдите период $T$ малых колебаний этого заряда в плоскости кольца.
Решение:
Если сместить заряд $q$ из положения равновесия в центре кольца на малое расстояние $x$ в плоскости кольца, то на этот заряд будет действовать возвращающая электрическая сила $F = qE$, где $E$ - напряженность поля, создаваемого кольцом на расстоянии $x$ от центра. Для расчета $E$ рассмотрим цилиндр малой высотой $h$ и радиусом $x$, нижнее основание которого лежит в плоскости кольца, а центр этого основания совпадает с центром кольца (рис.). В силу симметрии кольца поле в центре верхнего основания направлено вдоль оси цилиндра, а напряженность $E_{0}$ этого поля можно найти по принципу суперпозиции, разбив кольцо на множество точечных зарядов:
$E_{0} = \frac{ \rho \cdot 2 \pi R}{ 4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + h^{2} ) } \frac{h}{ \sqrt{R^{2} + h^{2} } } = \frac{ \rho h}{2 \epsilon_{0}R^{2} }$.
Из условия малости $h$ и $x$ по сравнению с $R$ следует, что во всех точках боковой поверхности цилиндра перпендикулярная составляющая поля примерно равна $E$, а во всех точках верхнего основания она примерно равна $E_{0}$. Отсюда находим потоки поля $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ через боковую поверхность и через верхнее основание цилиндра соответственно:
$\Phi_{1} \approx - E \cdot 2 \pi xh, \Phi_{2} \approx E_{0} \cdot \pi x^{2}$.
Поток поля через нижнее основание отсутствует, а внутри цилиндра зарядов нет, поэтому из теоремы Гаусса следует, что
$\Phi_{1} + \Phi_{2} = 0$,
откуда получаем
$E = \frac{ \rho x}{4 \epsilon_{0}R^{2} }$, и $F = qE = \frac{q \rho x}{4 \epsilon_{0}R^{2} }$.
Сила $F$ прямо пропорциональна смещению $x$, поэтому можно определить эффективную жесткость $k = \frac{F}{x}$ и найти период колебаний по формуле для пружинного маятника:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}} = 4 \pi R \sqrt{ \frac{ \epsilon_{0}m }{ \rho q} }$.
