Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13815
2020-03-29 
Два однородных металлических стержня одинакового поперечного сечения поочередно подвешивают за один конец. При этом их удлинения составляют $\Delta L_{1} = 3 мм$ и $\Delta L_{2} = 5 мм$. Известны отношения плотностей ($\rho_{1}$ и $\rho_{2}$) и модулей Юнга ( $E_{1}$ и $E_{2}$ ) сплавов, из которых изготовлены первый и второй стержни соответственно: $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} = 0,4$ и $\frac{E_{1}}{E_{2}} = 6$.
j) Чему равно отношение длин $L_{1}$ и $L_{2}$ недеформированныХ стержней?
2) Определите общее удлиннение $\Delta L$ составного стержня (последовательно соединенных обоих стержней), подвешенного за один конец.
Решение:
Рассмотрим однородный стержень, имеющий длину $L$, площадь поперечного сечения $S$, плотность $\rho$ и модуль Юнга $E$. Если такой стержень подвесить за один конец и приложить ко второму концу силу $F$, направленную вниз, то сила натяжения будет линейно расти вдоль стержня от значения $F_{1} = F$ вблизи нижнего конца до значения $F_{2} = F + \rho SLg$ около точки подвеса. Поскольку сила натяжения линейно зависит от координаты, можно найти общее удлинение $\Delta x$, подставив среднюю силу $F_{ср} = \frac{F_{1} + F_{2}}{2}$ в закон Гука:
$\Delta x = \frac{F_{ср}L}{ES} = \frac{FL}{ES} + \frac{ \rho gL^{2} }{2E}$.
1) При поочередном подвешивании стержней дополнительная сила $F$ отсутствует, поэтому получаем
$\Delta L_{1} = \frac{ \rho_{1}gL_{1}^{2} }{2E_{1} }, \Delta L_{2} = \frac{ \rho_{2}gL_{2}^{2} }{2E_{2} }$, и $\frac{L_{1} }{L_{2} } = \sqrt{ \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \frac{E_{1}} {E_{2} } \frac{ \Delta L_{1} }{ \Delta L_{2} } } = 3$.
2) Соединить два стержня в один составной можно двумя способами. Пусть первый стержень находится сверху, а второй - снизу. Тогда общее удлинение составного стержня складывается из увеличенного за счет веса второго стержня $F = \rho_{2}SL_{2}g$ удлинения $\Delta L_{1}$ первого стержня и прежнего значения удлинения $\Delta L_{2}$ второго стержня:
$\Delta L = \Delta L_{1} + 2 \sqrt{ \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \frac{E_{2} }{E_{1} } \Delta L_{1} \Delta L_{2} } + \Delta L_{2} = 13 мм$.
Пусть теперь первый стержень находится снизу, а второй -сверху. Тогда для получения ответа достаточно заменить индексы в предыдущей формуле:
$\Delta L = \Delta L_{1} + \Delta L_{2} + 2 \sqrt{ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } \frac{E_{1} }{E_{2} } \Delta L_{1} \Delta L_{2} } = 20 мм$.
Два однородных металлических стержня одинакового поперечного сечения поочередно подвешивают за один конец. При этом их удлинения составляют $\Delta L_{1} = 3 мм$ и $\Delta L_{2} = 5 мм$. Известны отношения плотностей ($\rho_{1}$ и $\rho_{2}$) и модулей Юнга ( $E_{1}$ и $E_{2}$ ) сплавов, из которых изготовлены первый и второй стержни соответственно: $\frac{ \rho_{1}}{ \rho_{2}} = 0,4$ и $\frac{E_{1}}{E_{2}} = 6$.
j) Чему равно отношение длин $L_{1}$ и $L_{2}$ недеформированныХ стержней?
2) Определите общее удлиннение $\Delta L$ составного стержня (последовательно соединенных обоих стержней), подвешенного за один конец.
Решение:
Рассмотрим однородный стержень, имеющий длину $L$, площадь поперечного сечения $S$, плотность $\rho$ и модуль Юнга $E$. Если такой стержень подвесить за один конец и приложить ко второму концу силу $F$, направленную вниз, то сила натяжения будет линейно расти вдоль стержня от значения $F_{1} = F$ вблизи нижнего конца до значения $F_{2} = F + \rho SLg$ около точки подвеса. Поскольку сила натяжения линейно зависит от координаты, можно найти общее удлинение $\Delta x$, подставив среднюю силу $F_{ср} = \frac{F_{1} + F_{2}}{2}$ в закон Гука:
$\Delta x = \frac{F_{ср}L}{ES} = \frac{FL}{ES} + \frac{ \rho gL^{2} }{2E}$.
1) При поочередном подвешивании стержней дополнительная сила $F$ отсутствует, поэтому получаем
$\Delta L_{1} = \frac{ \rho_{1}gL_{1}^{2} }{2E_{1} }, \Delta L_{2} = \frac{ \rho_{2}gL_{2}^{2} }{2E_{2} }$, и $\frac{L_{1} }{L_{2} } = \sqrt{ \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \frac{E_{1}} {E_{2} } \frac{ \Delta L_{1} }{ \Delta L_{2} } } = 3$.
2) Соединить два стержня в один составной можно двумя способами. Пусть первый стержень находится сверху, а второй - снизу. Тогда общее удлинение составного стержня складывается из увеличенного за счет веса второго стержня $F = \rho_{2}SL_{2}g$ удлинения $\Delta L_{1}$ первого стержня и прежнего значения удлинения $\Delta L_{2}$ второго стержня:
$\Delta L = \Delta L_{1} + 2 \sqrt{ \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \frac{E_{2} }{E_{1} } \Delta L_{1} \Delta L_{2} } + \Delta L_{2} = 13 мм$.
Пусть теперь первый стержень находится снизу, а второй -сверху. Тогда для получения ответа достаточно заменить индексы в предыдущей формуле:
$\Delta L = \Delta L_{1} + \Delta L_{2} + 2 \sqrt{ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } \frac{E_{1} }{E_{2} } \Delta L_{1} \Delta L_{2} } = 20 мм$.
