Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13814
2020-03-29 
В цилиндре под легким поршнем находится $m = 14 г$ азота при $T = 300 К$. Какое количество теплоты необходимо ему сообщить при изотермическом увеличении объема на $\alpha = 0,04$?
Решение:
По первому началу термодинамики,
$Q = \Delta U + A$.
Но в изотермическом процессе $U = const$, поэтому $\Delta U = 0$. Значит,
$Q = A$.
При $T = const$ вычислить работу без интеграла, вообще говоря, нельзя. Однако, учитывая, что $\alpha \ll 1$, в первом приближении криволинейную трапецию можно заменить обычной, прямолинейной трапеции (рис.). Тогда получим
$Q = \left ( \frac{p_{0} + p }{2} \right ) (V - V_{0} )$.
Так как $V = V_{0} (1 + \alpha )$, то
$V - V_{0} = V_{0} \alpha$.
Из уравнения $pV = p_{0}V_{0}$ выражаем $p$:
$p = \frac{p_{0}V_{0} }{V} = \frac{p_{0}V_{0} }{V_{0}(1 + \alpha ) } \approx p_{0} (1 - \alpha )$.
Следовательно,
$Q = \left ( \frac{p_{0} + p_{0}(1 - \alpha ) }{2} \right ) V_{0} \alpha = p_{0}V_{0} \alpha \left ( 1 - \frac{ \alpha }{2} \right ) = \frac{m}{M} RT \alpha \left ( 1 - \frac{ \alpha }{2} \right ) = 48,8 Дж$.
Интересно сравнить приведенное решение с решением, основанным на применении интеграла, т.е. строгим решением. В последнем случае
$Q = A = \int_{V_{1} }^{V_{2} } p(V)dV = \int_{V_{0} }^{V_{0}(1 + \alpha ) } \frac{p_{0} V_{0}}{V} dV = p_{0}V_{0} \int_{V_{0}}^{V_{0}(1 + \alpha ) } \frac{1}{V} dv = \frac{m}{M} \left . RT ln \right |_{V_{0} }^{V_{0}(1 + \alpha ) } = \frac{m}{M} RT ln (1 + \alpha )$.
Разлагая натуральный логарифм в ряд:
$ln(1 + \alpha ) = \alpha - \frac{ \alpha^{2} }{2} + \frac{ \alpha^{3} }{3} - \frac{ \alpha^{4} }{4} + \cdots$
и ограничиваясь тремя первыми членами, получим
$Q = \frac{m}{M} RT \alpha \left ( 1 - \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \alpha^{2} }{3} \right )$.
Таким образом, относительная погрешность составляет всего
$\frac{ \alpha^{2} }{3} = 5,3 \cdot 10^{-4}$.
В цилиндре под легким поршнем находится $m = 14 г$ азота при $T = 300 К$. Какое количество теплоты необходимо ему сообщить при изотермическом увеличении объема на $\alpha = 0,04$?
Решение:
По первому началу термодинамики,
$Q = \Delta U + A$.
Но в изотермическом процессе $U = const$, поэтому $\Delta U = 0$. Значит,
$Q = A$.
При $T = const$ вычислить работу без интеграла, вообще говоря, нельзя. Однако, учитывая, что $\alpha \ll 1$, в первом приближении криволинейную трапецию можно заменить обычной, прямолинейной трапеции (рис.). Тогда получим
$Q = \left ( \frac{p_{0} + p }{2} \right ) (V - V_{0} )$.
Так как $V = V_{0} (1 + \alpha )$, то
$V - V_{0} = V_{0} \alpha$.
Из уравнения $pV = p_{0}V_{0}$ выражаем $p$:
$p = \frac{p_{0}V_{0} }{V} = \frac{p_{0}V_{0} }{V_{0}(1 + \alpha ) } \approx p_{0} (1 - \alpha )$.
Следовательно,
$Q = \left ( \frac{p_{0} + p_{0}(1 - \alpha ) }{2} \right ) V_{0} \alpha = p_{0}V_{0} \alpha \left ( 1 - \frac{ \alpha }{2} \right ) = \frac{m}{M} RT \alpha \left ( 1 - \frac{ \alpha }{2} \right ) = 48,8 Дж$.
Интересно сравнить приведенное решение с решением, основанным на применении интеграла, т.е. строгим решением. В последнем случае
$Q = A = \int_{V_{1} }^{V_{2} } p(V)dV = \int_{V_{0} }^{V_{0}(1 + \alpha ) } \frac{p_{0} V_{0}}{V} dV = p_{0}V_{0} \int_{V_{0}}^{V_{0}(1 + \alpha ) } \frac{1}{V} dv = \frac{m}{M} \left . RT ln \right |_{V_{0} }^{V_{0}(1 + \alpha ) } = \frac{m}{M} RT ln (1 + \alpha )$.
Разлагая натуральный логарифм в ряд:
$ln(1 + \alpha ) = \alpha - \frac{ \alpha^{2} }{2} + \frac{ \alpha^{3} }{3} - \frac{ \alpha^{4} }{4} + \cdots$
и ограничиваясь тремя первыми членами, получим
$Q = \frac{m}{M} RT \alpha \left ( 1 - \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \alpha^{2} }{3} \right )$.
Таким образом, относительная погрешность составляет всего
$\frac{ \alpha^{2} }{3} = 5,3 \cdot 10^{-4}$.
