ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-03-29   
Некоторую массу $m$ идеального газа с молярной массой $M$ нагревают под поршнем так, что его температура, изменяясь пропорционального квадрату давления, возрастает от первоначального значения $T_{1}$ до конечного значения $T_{2}$. Определите работу, совершенную газом.


Решение:


Из уравнений

$pV = \frac{m}{M} RT$,
$T = \alpha p^{2}$,

где $\alpha = const$, выражаем давление:

$p = \frac{M}{R m \alpha } V = kV$, где $k = const$.

Видим, что давление прямо пропорционально объему, т.е. непостоянно. В таком случае работа определяется с помощью интеграла:

$A = \int_{V_{1} }^{V_{2} } p(V)dV$.


Однако для линейных функций удобнее построить график в системе координат $p, V$ (рис.) и найти работу как площадь под графиком:

$A = \left ( \frac{p_{2} + p_{2} }{2} \right ) (V_{2} - V_{1} ) = \frac{1}{2} (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1}) + \frac{1}{2} (p_{1} V_{2} - p_{2} V_{1} )$.

По закону Клапейрона-Менделеева,

$p_{1}V_{1} = \frac{m}{M} RT_{1}, p_{2}V_{2} = \frac{m}{M} RT_{2}$.

Кроме того,

$p_{1}V_{2} - p_{2}V_{1} = kV_{1}V_{2} - kV_{2}V_{1} = 0$.

Следовательно,

$A = \frac{1}{2} (p_{2}V_{2} - p_{1}V_{1} ) = \frac{mR}{2M} (T_{2} - T_{1})$.