ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-03-29   
Идеальный газ медленно переводят из состояния с объемом $V_{1} = 32 л$ и давлением $p_{1} = 4,1 \cdot 10^{5} Па$ в состояние с объемом $V_{2} = 9 л$ и давлением $P_{2} = 15,5 \cdot 10^{5} Па$ так, что давление во время сжатия изменяется в зависимости от объема по линейному закону $p = aV + b$, где $a$ и $b$ - постоянные величины. При каком объеме температура газа в этом процессе будет наибольшей?


Решение:


По условию задачи имеем

$p_{1} = aV_{1} + b$,
$p_{2} = aV_{2} + b$,
$p = aV + b$.

Теперь последовательно исключаем величины $b$ и $a$:

$p - p_{1} = a(V - V_{1})$,
$p_{2} - p_{1} = a(V_{2} - V_{1} )$

и получаем

$\frac{p - p_{1} }{p_{2} - p_{1} } = \frac{V - V_{1} }{V_{2} - V_{1} }$.

Из этого уравнения и из уравнения состояния

$pV = \nu RT$

легко выводится, что

$T = \frac{(p_{2} - p_{1} )V^{2} + (p_{1}V_{2} - p_{2}V_{1} )V}{(V_{2} - V_{1}) \nu R}$,

т.е. зависимость температуры $T$ от объема $V$ представляет собой квадратичную функцию с отрицательным коэффициентом (при заданных значениях $p_{1}, V_{1}, p_{2}, V_{2}$) при старшем члене. Значит, наибольшее значение температуры достигается при

$V = \frac{p_{1}V_{2} - p_{2}V_{1} }{2(p_{1} - p_{2} )} = 20,1 л$.