Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13809
2020-03-29 
Цепочка длиной $l = 45 см$, скользившая по горизонтальной плоскости со скоростью $v_{0} = 1 м/с$, начинает въезжать на наклонную плоскость перпендикулярно ее нижней границе. Через какое время цепочка остановится? Угол наклона плоскости $\alpha = 30^{ \circ}$. Трением пренебречь.
Решение:
Рассмотрим момент, когда часть цепочки длиной $x$ и массой $m(x) = \frac{mx}{l}$ заехала на наклонную плоскость (рис.). Если записать для каждого элемента цепочки второй закон Ньютона в проекции на направление его движения, а затем просуммировать эти уравнения, то получим уравнение движения цепочки (внутренние силы взаимодействия между элементами цепочки сокращаются)
$mx^{ \prime \prime} = - m(x)g \sin \alpha$,
которое приводится к уравнению гармонических колебаний
$x^{ \prime \prime} + \frac{g \sin \alpha}{l} x = 0$.
Движение цепочки происходит по закону гармонических колебаний, с начальным условием $x = 0$,
$x = A \sin \omega t$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{l}}$. Скорость цепочки при этом изменяется по закону
$v = \omega A \cos \omega t = v_{0} \cos \omega t$, откуда $A = \frac{v_{0} }{ \omega}$.
В зависимости от начальных условий возможны два случая. Если $A < l$, т.е. $v_{0} < \omega l$, то движение цепочки до остановки происходит по гармоническому закону и совпадает с движением маятника от центра колебаний до крайней точки. Именно такой случай реализуется в данной задаче. Время до остановки равно четверти периода колебаний:
$t = \frac{T}{4} = \frac{2 \pi / \omega }{4} = \frac{ \pi }{2} \sqrt{ \frac{l}{g \sin \alpha } } = 0,47 c$.
Если же $A > l$, т.е. $v_{0} > \omega l$, то цепочка целиком заедет на наклонную плоскость раньше, чем остановится. Время $t_{1}$ движения до этого момента надо определить из уравнения $l = A \sin \omega t_{1}$, найти скорость цепочки в этот момент и затем вычислить время $t_{2}$ движения до остановки.
Цепочка длиной $l = 45 см$, скользившая по горизонтальной плоскости со скоростью $v_{0} = 1 м/с$, начинает въезжать на наклонную плоскость перпендикулярно ее нижней границе. Через какое время цепочка остановится? Угол наклона плоскости $\alpha = 30^{ \circ}$. Трением пренебречь.
Решение:
Рассмотрим момент, когда часть цепочки длиной $x$ и массой $m(x) = \frac{mx}{l}$ заехала на наклонную плоскость (рис.). Если записать для каждого элемента цепочки второй закон Ньютона в проекции на направление его движения, а затем просуммировать эти уравнения, то получим уравнение движения цепочки (внутренние силы взаимодействия между элементами цепочки сокращаются)
$mx^{ \prime \prime} = - m(x)g \sin \alpha$,
которое приводится к уравнению гармонических колебаний
$x^{ \prime \prime} + \frac{g \sin \alpha}{l} x = 0$.
Движение цепочки происходит по закону гармонических колебаний, с начальным условием $x = 0$,
$x = A \sin \omega t$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{g \sin \alpha}{l}}$. Скорость цепочки при этом изменяется по закону
$v = \omega A \cos \omega t = v_{0} \cos \omega t$, откуда $A = \frac{v_{0} }{ \omega}$.
В зависимости от начальных условий возможны два случая. Если $A < l$, т.е. $v_{0} < \omega l$, то движение цепочки до остановки происходит по гармоническому закону и совпадает с движением маятника от центра колебаний до крайней точки. Именно такой случай реализуется в данной задаче. Время до остановки равно четверти периода колебаний:
$t = \frac{T}{4} = \frac{2 \pi / \omega }{4} = \frac{ \pi }{2} \sqrt{ \frac{l}{g \sin \alpha } } = 0,47 c$.
Если же $A > l$, т.е. $v_{0} > \omega l$, то цепочка целиком заедет на наклонную плоскость раньше, чем остановится. Время $t_{1}$ движения до этого момента надо определить из уравнения $l = A \sin \omega t_{1}$, найти скорость цепочки в этот момент и затем вычислить время $t_{2}$ движения до остановки.
