Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13806
2020-03-29 
Микроэлектромеханические системы (МЭМС) - это устройства, сочетающие одновременно электрические и механические функции. Они нашли широкое применение за счет миниатюрности и технологий производства, полностью совместимых со стандартными полупроводниковыми циклами. Данная задача посвящена одному из самых распространенных электромеханических преобразователей - электростатическому.
В качестве модели рассмотрим плоский конденсатор, имеющий пластины площадью S, одна из которых неподвижна, а другая прикреплена к пружине жесткостью k и может перемещаться в вертикальном направлении (рис.). Обкладки конденсатора подключены к источнику регулируемого постоянного напряжения. В начальном состоянии напряжение источника равно нулю, а верхняя пластина покоится на
Решение:
Малое сопротивление цепи позволяет считать, что все процессы перезарядки конденсатора происходят очень быстро, так что смещением верхней пластины за это время можно пренебречь.
1) Емкость плоского конденсатора $C = \frac{ \epsilon_{0} S}{d}$. Заряд верхней пластины $q = CU_{1} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}}{d}$. Напряженность однородного электрического поля между обкладками конденсатора $E = \frac{U_{1}}{d}$, причем каждая из пластин обеспечивает половину этой величины. Значит, искомая сила равна
$F_{1} = q \frac{E}{2} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2}}{2d^{2} }$.
В следующих пунктах будем считать, что пружина изначально не растянута и сила тяжести на верхнюю пластину не действует. Это упрощение не повлияет на результаты, так как силу упругости пружины можно представить в виде суммы ее начального значения и ее изменения, а поскольку согласно условию равновесия начальная сила упругости равна силе тяжести, то они взаимно уничтожатся во всех уравнениях, в том числе и при расчете работы.
2) Поскольку напряжение $U$ увеличивают медленно, то расстояние $x$ между пластинами уменьшается тоже медленно и можно считать, что электрическая сила в каждый момент времени уравновешивается силой упругости:
$\frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{2x^{2} } = k(d - x)$.
Это уравнение является кубическим относительно $x$, поэтому для его анализа применим графический метод. Графиком правой части уравнения является прямая, а левой - семейство квадратичных гипербол, зависящих от параметра $U$. На рисунке показаны прямая и три характерные гиперболы для значений $U$, равных $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ и удовлетворяющих условию $V_{1} < V_{2} < V_{3}$.
При $U = V_{1}$ уравнение имеет два корня - графики пересекаются при $x_{1}$ и $x_{2}$, причем $x_{1}$ соответствует устойчивому положению равновесия, а $x_{2}$ - неустойчивому (это определяется по направлению результирующей силы, возникающей при небольшом отклонении от положения равновесия). Отсюда следует, что при плавном уменьшении $x$ от значения $d$ система окажется сначала в состоянии $x_{1}$ и уже не попадет в состояние $x_{2}$.
По мере увеличения $U$ от $V_{1}$ до $V_{2}$ точки $x_{1}$ и $x_{2}$ приближаются друг к другу и сходятся в точке $x_{0}$, соответствующей случаю касания гиперболы и прямой. Положение равновесия $x_{0}$ является устойчивым при увеличении х и неустойчивым при уменьшении $x$, поэтому при $U = V_{2}$ подвижная пластина конденсатора начнет двигаться ускоренно, и через некоторое время пластины схлопнутся. Таким образом, искомое $U_{2} = V_{2}$. Отметим, что при $U = V_{3}$ положений равновесия уже нет, так что пластины начнут двигаться ускоренно и схлопнутся при любом $x$.
Для упрощения преобразований перепишем условие равновесия в виде
$\frac{a}{2x^{2} } = d - x$, где $a = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{k}$.
В точке касания графиков функций должны быть равны не только значения функций, но и значения их производных:
$\frac{a_{0} }{2x_{0}^{2} } = d - x_{0}, - \frac{a_{0} }{x_{0}^{2} } = - x_{0}$, где $a_{0} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{2}^{2} }{k}$.
Отсюда находим
$x_{0} = \frac{2}{3} d = \sqrt[3]{a_{0} }$, и $U_{2} = \sqrt{ \frac{8kd^{3} }{27 \epsilon_{0}S } }$.
3) После размыкания цепи заряд на конденсаторе будет сохраняться, а потому напряженность поля и электрическая сила, действующая на подвижную пластину, изменяться не будут. Пользуясь результатом первого пункта, находим
$F_{3} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{3}^{2}}{2d^{2} } = const$.
При минимальном значении $U_{3}$ пластина будет сначала ускоряться, а затем замедляться из-за постепенного растяжения пружины, так что пластины схлопнутся с пренебрежимо малой скоростью. Из закона сохранения энергии $F_{3}d = \frac{kd^{2}}{2}$ получаем
$U_{3} = \sqrt{ \frac{kd^{3} }{ \epsilon_{0}S } }$.
Отметим, что в данном случае потребовалось большее напряжение, чем во втором пункте, что вполне логично, так как в предыдущем случае по мере сближения пластин их заряд, напряженность поля и сила взаимодействия существенно возрастали за счет действия источника.
4) В этом пункте мы, наоборот, ожидаем получить меньшее напряжение, чем во втором случае, так как пластина может преодолеть участок между положениями равновесия $x_{1}$ и $x_{2}$ за счет кинетической энергии, накопленной при разгоне на участке от $d$ до $x_{1}$.
Аналогично первому пункту, находим электрическую силу, действующую на подвижную пластину, находящуюся на расстоянии $x$ от неподвижной:
$F_{4} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} }{2x^{2} }$.
Работа этой силы на участке от $d$ до $x$ равна
$A = \int_{d}^{x} \left ( - \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} }{2x^{2} } \right ) dx = \frac{ \epsilon_{0} SU_{4}^{2} }{2} \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{d} \right )$.
С помощью закона сохранения энергии выразим кинетическую энергию:
$W = A - \frac{k(d - x)^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} (d - x) }{2xd} - \frac{k(d-x)^{2} }{2}$.
Пластина не остановится, если в каждой точке $x \in (0;d)$ будет выполнено условие $W \geq 0$, откуда после упрощения получаем неравенство
$x^{2} - dx + \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} }{kd} \geq 0$.
Графиком левой части этого неравенства является парабола с вершиной $x_{4} = \frac{d}{2}$, лежащей в рассматриваемом промежутке, поэтому для нахождения минимального $U_{4}$ достаточно наложить на дискриминант условие
$D = d^{2} - \frac{4 \epsilon_{0} SU_{4}^{2} }{kd} = 0$,
откуда получим
$U_{4} = \sqrt{ \frac{kd^{3} }{4 \epsilon_{0}S } }$.
Микроэлектромеханические системы (МЭМС) - это устройства, сочетающие одновременно электрические и механические функции. Они нашли широкое применение за счет миниатюрности и технологий производства, полностью совместимых со стандартными полупроводниковыми циклами. Данная задача посвящена одному из самых распространенных электромеханических преобразователей - электростатическому.
В качестве модели рассмотрим плоский конденсатор, имеющий пластины площадью S, одна из которых неподвижна, а другая прикреплена к пружине жесткостью k и может перемещаться в вертикальном направлении (рис.). Обкладки конденсатора подключены к источнику регулируемого постоянного напряжения. В начальном состоянии напряжение источника равно нулю, а верхняя пластина покоится на
Решение:
Малое сопротивление цепи позволяет считать, что все процессы перезарядки конденсатора происходят очень быстро, так что смещением верхней пластины за это время можно пренебречь.
1) Емкость плоского конденсатора $C = \frac{ \epsilon_{0} S}{d}$. Заряд верхней пластины $q = CU_{1} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}}{d}$. Напряженность однородного электрического поля между обкладками конденсатора $E = \frac{U_{1}}{d}$, причем каждая из пластин обеспечивает половину этой величины. Значит, искомая сила равна
$F_{1} = q \frac{E}{2} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{1}^{2}}{2d^{2} }$.
В следующих пунктах будем считать, что пружина изначально не растянута и сила тяжести на верхнюю пластину не действует. Это упрощение не повлияет на результаты, так как силу упругости пружины можно представить в виде суммы ее начального значения и ее изменения, а поскольку согласно условию равновесия начальная сила упругости равна силе тяжести, то они взаимно уничтожатся во всех уравнениях, в том числе и при расчете работы.
2) Поскольку напряжение $U$ увеличивают медленно, то расстояние $x$ между пластинами уменьшается тоже медленно и можно считать, что электрическая сила в каждый момент времени уравновешивается силой упругости:
$\frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{2x^{2} } = k(d - x)$.
Это уравнение является кубическим относительно $x$, поэтому для его анализа применим графический метод. Графиком правой части уравнения является прямая, а левой - семейство квадратичных гипербол, зависящих от параметра $U$. На рисунке показаны прямая и три характерные гиперболы для значений $U$, равных $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ и удовлетворяющих условию $V_{1} < V_{2} < V_{3}$.
При $U = V_{1}$ уравнение имеет два корня - графики пересекаются при $x_{1}$ и $x_{2}$, причем $x_{1}$ соответствует устойчивому положению равновесия, а $x_{2}$ - неустойчивому (это определяется по направлению результирующей силы, возникающей при небольшом отклонении от положения равновесия). Отсюда следует, что при плавном уменьшении $x$ от значения $d$ система окажется сначала в состоянии $x_{1}$ и уже не попадет в состояние $x_{2}$.
По мере увеличения $U$ от $V_{1}$ до $V_{2}$ точки $x_{1}$ и $x_{2}$ приближаются друг к другу и сходятся в точке $x_{0}$, соответствующей случаю касания гиперболы и прямой. Положение равновесия $x_{0}$ является устойчивым при увеличении х и неустойчивым при уменьшении $x$, поэтому при $U = V_{2}$ подвижная пластина конденсатора начнет двигаться ускоренно, и через некоторое время пластины схлопнутся. Таким образом, искомое $U_{2} = V_{2}$. Отметим, что при $U = V_{3}$ положений равновесия уже нет, так что пластины начнут двигаться ускоренно и схлопнутся при любом $x$.
Для упрощения преобразований перепишем условие равновесия в виде
$\frac{a}{2x^{2} } = d - x$, где $a = \frac{ \epsilon_{0}SU^{2} }{k}$.
В точке касания графиков функций должны быть равны не только значения функций, но и значения их производных:
$\frac{a_{0} }{2x_{0}^{2} } = d - x_{0}, - \frac{a_{0} }{x_{0}^{2} } = - x_{0}$, где $a_{0} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{2}^{2} }{k}$.
Отсюда находим
$x_{0} = \frac{2}{3} d = \sqrt[3]{a_{0} }$, и $U_{2} = \sqrt{ \frac{8kd^{3} }{27 \epsilon_{0}S } }$.
3) После размыкания цепи заряд на конденсаторе будет сохраняться, а потому напряженность поля и электрическая сила, действующая на подвижную пластину, изменяться не будут. Пользуясь результатом первого пункта, находим
$F_{3} = \frac{ \epsilon_{0} SU_{3}^{2}}{2d^{2} } = const$.
При минимальном значении $U_{3}$ пластина будет сначала ускоряться, а затем замедляться из-за постепенного растяжения пружины, так что пластины схлопнутся с пренебрежимо малой скоростью. Из закона сохранения энергии $F_{3}d = \frac{kd^{2}}{2}$ получаем
$U_{3} = \sqrt{ \frac{kd^{3} }{ \epsilon_{0}S } }$.
Отметим, что в данном случае потребовалось большее напряжение, чем во втором пункте, что вполне логично, так как в предыдущем случае по мере сближения пластин их заряд, напряженность поля и сила взаимодействия существенно возрастали за счет действия источника.
4) В этом пункте мы, наоборот, ожидаем получить меньшее напряжение, чем во втором случае, так как пластина может преодолеть участок между положениями равновесия $x_{1}$ и $x_{2}$ за счет кинетической энергии, накопленной при разгоне на участке от $d$ до $x_{1}$.
Аналогично первому пункту, находим электрическую силу, действующую на подвижную пластину, находящуюся на расстоянии $x$ от неподвижной:
$F_{4} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} }{2x^{2} }$.
Работа этой силы на участке от $d$ до $x$ равна
$A = \int_{d}^{x} \left ( - \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} }{2x^{2} } \right ) dx = \frac{ \epsilon_{0} SU_{4}^{2} }{2} \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{d} \right )$.
С помощью закона сохранения энергии выразим кинетическую энергию:
$W = A - \frac{k(d - x)^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} (d - x) }{2xd} - \frac{k(d-x)^{2} }{2}$.
Пластина не остановится, если в каждой точке $x \in (0;d)$ будет выполнено условие $W \geq 0$, откуда после упрощения получаем неравенство
$x^{2} - dx + \frac{ \epsilon_{0}SU_{4}^{2} }{kd} \geq 0$.
Графиком левой части этого неравенства является парабола с вершиной $x_{4} = \frac{d}{2}$, лежащей в рассматриваемом промежутке, поэтому для нахождения минимального $U_{4}$ достаточно наложить на дискриминант условие
$D = d^{2} - \frac{4 \epsilon_{0} SU_{4}^{2} }{kd} = 0$,
откуда получим
$U_{4} = \sqrt{ \frac{kd^{3} }{4 \epsilon_{0}S } }$.
