Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13805
2020-03-29 
Большой неподвижный герметичный сосуд частично заполнен водой и поддерживается при постоянной температуре $T$. В воду пустили плавать открытый сверху цилиндрический тонкостенный стакан радиусом $r$, причем края стакана оказались на $h$ выше, а дно - на $H$ ниже уровня воды (рис.). Дно стакана утяжелено, так что стакан плавает вертикально. При температуре $T$ давление насыщенных паров воды равно $p$. Плотность $\rho$ и молярная масса $M$ воды известны. Коэффициент прилипания молекул пара к поверхности воды равен $\alpha$.
1) Какая минимальная масса $m$ воды должна накопиться в стакане, чтобы он утонул? Поверхностным натяжением можно пренебречь.
2) Найдите поток $\Phi$ молекул, покидающих поверхность воды.
3) Найдите разность концентраций $\Delta n$ пара над поверхностями воды в стакане и в сосуде, предполагая, что процессы диффузии протекают много быстрее процессов испарения.
4) Оцените время $t$, через которое стакан утонет.
Коэффициент прилипания - это вероятность того, что молекула пара, налетевшая на поверхность воды, присоединится к воде. Поток молекул - это количество молекул, отнесенное к площади и ко времени.
Решение:
1) В силу закона Архимеда, разность уровней воды в сосуде и в стакане при погружении стакана будет постоянна и равна $H$ (рис.). Стакан утонет, когда в нем накопится вода массой $m = \rho \pi r^{2}h$.
2) Когда жидкость находится в термодинамическом равновесии со своим паром, поток молекул, вылетающих из жидкости, равен потоку молекул пара, "прилипающих" к поверхности жидкости: $\Phi = \alpha \cdot \frac{1}{4} nv$, где $n$ - концентрация, $v$ - средняя скорость молекул пара. После подстановки $n = \frac{p}{kT}$ и $v = \sqrt{ \frac{8RT}{ \pi M} }$ получаем
$\Phi = \frac{ \alpha p}{k} \sqrt{ \frac{R}{ 2 \pi MT } }$.
Здесь приведена точная формула для $\Phi$, однако следует счи тать правильными ответы с немного отличающимися числовы ми коэффициентами, которые могут возникнуть, например, из-за подстановки в качестве v среднеквадратичной скорости $v_{ск} = \sqrt{ \frac{RT}{M}}$ или из-за использования "школьной" формулы для потока, содержащей коэффициент 1/6 вместо 1/4.
3) Поскольку по условию сосуд большой по сравнению со стаканом, то насыщенным пар будет именно на уровне поверхности воды в сосуде. Пусть $p_{0}$ и $n_{0}$ - соответственно давление и концентрация пара на уровне поверхности воды в стакане, тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона находим среднюю плотность пара в погруженной части стакана:
$\rho_{п} = \frac{1}{2} \left ( \frac{Mp}{RT} + \frac{Mp_{0} }{RT} \right ) \approx \frac{Mp}{ RT}$.
Здесь $p_{0} \approx p$, так как в данном случае учет разницы давлений проявился бы в дальнейшем лишь как поправка второго порядка малости. Добавочное гидростатическое давление столба пара в стакане равно
$\Delta p = p_{0} - p = \rho_{п} gH = \frac{MpgH}{RT}$,
а искомая разность концентраций составляет
$\Delta n = n_{0} - n = \frac{p_{0} }{kT} - \frac{p}{kT} = \frac{ \Delta p}{kT} = \frac{MpgH}{kRT^{2} }$.
4) Стакан становится все более тяжелым из-за постепенного накапливания в нем воды, возникшей в результате конденсации пара. При этом пар будет конденсироваться на внутренней поверхности погруженной части стакана, так как в этой области давление пара будет превышать давление насыщенно го пара при данной температуре на величину гидростатического давления столба пара.
Приведем расчет в предположении, что внутренние стенки стакана до уровня поверхности воды в сосуде влажные, т.е. покрыты тонким слоем воды, однако можно считать верными решения участников с использованием модели сухих стенок. Общее количество молекул, вылетающих с полной поверхности воды площадью $S$ за время $t$, равно
$Z_{1} = \Phi St = \frac{ \alpha}{4} nv ( \pi r^{2} + 2 \pi rH )t$.
Количество молекул, "прилипающих" к воде за то же время, определяется концентрацией пара на соответствующем уровне и равно
$Z_{2} = \frac{ \alpha }{4} n_{0} v \pi r^{2}t + \frac{ \alpha }{4} n_{ср}v \cdot 2 \pi r Ht$,
где $n_{ср} = \frac{n + n_{0}}{2} = n + \frac{ \Delta n}{2}$ - средняя концентрация пара в погруженной части стакана.
Стакан утонет, когда общая масса накопившихся в нем молекул воды станет равна $m$:
$(Z_{2} - Z_{1}) \frac{M}{N_{A} } = m$,
где $\frac{M}{N_{A}}$ - масса одной молекулы. Подставив сюда соответствующие выражения для $Z_{2}, Z_{1}$ и $m$, получим искомое время:
$t = \frac{ \sqrt{2 \pi} \rho}{ \alpha pg} \left ( \frac{RT}{M} \right )^{3/2} \frac{r}{r + H} \frac{h}{H}$.
Аналогично второму пункту, оценочные ответы, отличающиеся только числовыми коэффициентами, следует считать правильными.
Большой неподвижный герметичный сосуд частично заполнен водой и поддерживается при постоянной температуре $T$. В воду пустили плавать открытый сверху цилиндрический тонкостенный стакан радиусом $r$, причем края стакана оказались на $h$ выше, а дно - на $H$ ниже уровня воды (рис.). Дно стакана утяжелено, так что стакан плавает вертикально. При температуре $T$ давление насыщенных паров воды равно $p$. Плотность $\rho$ и молярная масса $M$ воды известны. Коэффициент прилипания молекул пара к поверхности воды равен $\alpha$.
1) Какая минимальная масса $m$ воды должна накопиться в стакане, чтобы он утонул? Поверхностным натяжением можно пренебречь.
2) Найдите поток $\Phi$ молекул, покидающих поверхность воды.
3) Найдите разность концентраций $\Delta n$ пара над поверхностями воды в стакане и в сосуде, предполагая, что процессы диффузии протекают много быстрее процессов испарения.
4) Оцените время $t$, через которое стакан утонет.
Коэффициент прилипания - это вероятность того, что молекула пара, налетевшая на поверхность воды, присоединится к воде. Поток молекул - это количество молекул, отнесенное к площади и ко времени.
Решение:
1) В силу закона Архимеда, разность уровней воды в сосуде и в стакане при погружении стакана будет постоянна и равна $H$ (рис.). Стакан утонет, когда в нем накопится вода массой $m = \rho \pi r^{2}h$.
2) Когда жидкость находится в термодинамическом равновесии со своим паром, поток молекул, вылетающих из жидкости, равен потоку молекул пара, "прилипающих" к поверхности жидкости: $\Phi = \alpha \cdot \frac{1}{4} nv$, где $n$ - концентрация, $v$ - средняя скорость молекул пара. После подстановки $n = \frac{p}{kT}$ и $v = \sqrt{ \frac{8RT}{ \pi M} }$ получаем
$\Phi = \frac{ \alpha p}{k} \sqrt{ \frac{R}{ 2 \pi MT } }$.
Здесь приведена точная формула для $\Phi$, однако следует счи тать правильными ответы с немного отличающимися числовы ми коэффициентами, которые могут возникнуть, например, из-за подстановки в качестве v среднеквадратичной скорости $v_{ск} = \sqrt{ \frac{RT}{M}}$ или из-за использования "школьной" формулы для потока, содержащей коэффициент 1/6 вместо 1/4.
3) Поскольку по условию сосуд большой по сравнению со стаканом, то насыщенным пар будет именно на уровне поверхности воды в сосуде. Пусть $p_{0}$ и $n_{0}$ - соответственно давление и концентрация пара на уровне поверхности воды в стакане, тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона находим среднюю плотность пара в погруженной части стакана:
$\rho_{п} = \frac{1}{2} \left ( \frac{Mp}{RT} + \frac{Mp_{0} }{RT} \right ) \approx \frac{Mp}{ RT}$.
Здесь $p_{0} \approx p$, так как в данном случае учет разницы давлений проявился бы в дальнейшем лишь как поправка второго порядка малости. Добавочное гидростатическое давление столба пара в стакане равно
$\Delta p = p_{0} - p = \rho_{п} gH = \frac{MpgH}{RT}$,
а искомая разность концентраций составляет
$\Delta n = n_{0} - n = \frac{p_{0} }{kT} - \frac{p}{kT} = \frac{ \Delta p}{kT} = \frac{MpgH}{kRT^{2} }$.
4) Стакан становится все более тяжелым из-за постепенного накапливания в нем воды, возникшей в результате конденсации пара. При этом пар будет конденсироваться на внутренней поверхности погруженной части стакана, так как в этой области давление пара будет превышать давление насыщенно го пара при данной температуре на величину гидростатического давления столба пара.
Приведем расчет в предположении, что внутренние стенки стакана до уровня поверхности воды в сосуде влажные, т.е. покрыты тонким слоем воды, однако можно считать верными решения участников с использованием модели сухих стенок. Общее количество молекул, вылетающих с полной поверхности воды площадью $S$ за время $t$, равно
$Z_{1} = \Phi St = \frac{ \alpha}{4} nv ( \pi r^{2} + 2 \pi rH )t$.
Количество молекул, "прилипающих" к воде за то же время, определяется концентрацией пара на соответствующем уровне и равно
$Z_{2} = \frac{ \alpha }{4} n_{0} v \pi r^{2}t + \frac{ \alpha }{4} n_{ср}v \cdot 2 \pi r Ht$,
где $n_{ср} = \frac{n + n_{0}}{2} = n + \frac{ \Delta n}{2}$ - средняя концентрация пара в погруженной части стакана.
Стакан утонет, когда общая масса накопившихся в нем молекул воды станет равна $m$:
$(Z_{2} - Z_{1}) \frac{M}{N_{A} } = m$,
где $\frac{M}{N_{A}}$ - масса одной молекулы. Подставив сюда соответствующие выражения для $Z_{2}, Z_{1}$ и $m$, получим искомое время:
$t = \frac{ \sqrt{2 \pi} \rho}{ \alpha pg} \left ( \frac{RT}{M} \right )^{3/2} \frac{r}{r + H} \frac{h}{H}$.
Аналогично второму пункту, оценочные ответы, отличающиеся только числовыми коэффициентами, следует считать правильными.
