Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13804
2020-03-29 
Экспериментатор Глюк собрал цепь из одинаковых идеальных источников постоянного напряжения, конденсаторов различных емкостей и резисторов, сопротивления которых указаны на схеме (рис.). Далее Глюк подключил идеальный амперметр поочередно к двум парам точек цепи. После каждого подключения амперметра Глюк ждал достаточно долго, чтобы ток перестал изменяться, и только после этого записывал показания. Результаты измерений таковы: $I_{A1} = 20 мА , I_{A2} = 720 мА$.
1) Определите, к каким точкам схемы Глюк подключал амперметр в каждом из опытов.
2) Чему будет равна установившаяся сила тока $I_{A3}$ через идеальный амперметр, если его подключить к точкам A и B?
Решение:
Установление постоянного тока через амперметр означает, что вызванные его подключением процессы перезарядки конденсаторов закончились и токи через конденсаторы больше не текут. В таком случае можно упростить схему, заменив каждый конденсатор разрывом цепи (рис.). Для удобства обозначения узлов на схеме введена система координат (х, y). Рассмотрим произвольный контур, состоящий из двух источников и двух одинаковых резисторов (одну "клеточку" на схеме). Обозначив ЭДС источников через $\mathcal{E}$, сопротивления резисторов через $r$ и направив вправо токи $i_{1}$ и $i_{2}$ через верхний и нижний резисторы, запишем второе правило Кирхгофа:
$\mathcal{E} - \mathcal{E} = ri_{1} - ri_{2}$, откуда $i_{1} = i_{2}$.
Это означает, что силы токов через все одинаковые резисторы равны между собой и направлены в одну сторону, поэтому можно обозначить через $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, I_{5}$ и $I_{6}$ силы токов через резисторы сопротивлениями $R, 2R, 3R, 4R, 5R$ и $6R$ соответственно. Отметим, что обнаруженное равенство сил токов наблюдается только в случае идеальных источников. Подключим амперметр к двум произвольным узлам $C(x_{1}, y_{1})$ и $D(x_{2}, y_{2})$, не лежащим на одной вертикали (в противном случае амперметр окажется подключенным напрямую к идеальным источникам и сила тока через него устремится к бесконечности). Без ограничения общности можно считать, что узел С лежит левее узла D, т.е. $x_{1} < x_{2}$, а ток $I_{A}$ через амперметр направлен от D к C. Чтобы было проще следить по рисунку за ходом рассуждений, удобно выбрать для себя какие-нибудь конкретные положения точек C и D - например, считать C совпадающей с B, а D - с A. Вертикальные прямые, проходящие через точки C и D, разделяют схему на три части: левее C, между C и D, правее D. В двух крайних частях цепи токов нет, так как токи через одинаковые резисторы текут в одну сторону, а на краях цепи заряду негде накапливаться и неоткуда взяться, поэтому далее будем рассматривать только среднюю часть цепи - между точками C и D.
Сгруппируем узлы, лежащие на одной вертикали, в обобщенные узлы, тогда токи через источники станут для них внутренними, а внутренние токи не учитываются при записи первого правила Кирхгофа. В обобщенный узел с координатой $x_{1}$ втекает ток силой $I_{A}$, а вытекают $x_{1} + 1$ токов силой $I_{x_{1}} + 1$; в обобщенный узел с координатой $x_{1} + 1$ втекают те же $x_{1} + 1$ токов силой $I_{x+1} + 1$, а вытекают $x_{1} + 2$ токов силой $I_{x_{1}} + 2$; и т.д. до обобщенного узла с координатой $x_{2} - 1$, в который втекают $x_{2} - 1$ токов силой $I_{x_{2}} - 1$ и вытекают $x_{2}$ токов силой $I_{x_{2}}$. Тогда, по первому правилу Кирхгофа,
$I_{A} = (x_{1} + 1 )I_{x_{1} + 1 } = (x_{1} + 2 ) I_{x_{1} + 2 } = \cdots = (x_{2} - 1 ) I_{x_{2} - 1 } = x_{2}I_{x_{2} }$,
откуда для любого $x$ от $x_{1} + 1$ до $x_{2}$ находим
$I_{x} = \frac{I_{A} }{x}$.
Рассмотрим следующий контур: начинаем из узла $D(x_{2}, y_{2})$, проходим через амперметр в узел $C(x_{1}, y_{1})$, проходим через резисторы сопротивлениями $(x_{1} + 1)R, (x_{1} + 2)R, \cdots , x_{2}R$ по горизонтали до узла с координатой $x_{2}$, проходим через $| y_{2} - y_{1}|$ источников по вертикали до узла D. Запишем для этого контура второе правило Кирхгофа:
$(y_{2} - y_{1} ) \mathcal{E} = ( x_{1} + 1)R \cdot I_{x_{1} + 1} + (x_{1} + 2)R \cdot I_{x_{1} + 2} + \cdots + x_{2}R \cdot I_{x_{2}}$,
откуда после подстановки выражения для $I_{x}$ получим
$(y_{2} - y_{1} ) \mathcal{E} = ( x_{2} - x_{1} )RI_{A}$.
Поскольку амперметр показывает абсолютную величину силы тока, то
$I_{A} = \frac{ \mathcal{E} }{R} \left | \frac{y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } \right | = \frac{ \mathcal{E}}{R} \frac{ \Delta y}{ \Delta x}$,
где $\Delta x$ и $\Delta y$ - модули разностей соответствующих координат точек подключения амперметра. Используя численные данные из условия, запишем
$\frac{I_{A2} }{I_{A1} } = \frac{ \Delta x_{1} \cdots \Delta y_{2} }{ \Delta x_{2} \cdot \Delta y_{1} } = 36$.
Поскольку все модули разностей координат являются натуральными числами от 1 до 6, то последнее равенство может быть выполнено только при $\Delta x_{1} = \Delta y_{2} = 6$ и $\Delta x_{2} = \Delta y_{1} = 1$.
Следовательно, в первом опыте амперметр был подключен к точкам $A_{1}(6, 1)$ и $B_{1}(0, 0)$, а во втором - к точкам $A_{2}(6, 6)$ и $B_{2}(5, 0)$.
Используя данные первого или второго опыта, из выражения для $I_{A}$ находим
$\frac{ \mathcal{E} }{R} = I_{A1} \frac{ \Delta x_{1} }{ \Delta y_{1} } = I_{A2} \frac{ \Delta x_{2} }{ \Delta y_{2} } = 120 мА$.
Отсюда для силы тока, протекающего через амперметр, подключенный к точкам $A(5, 4)$ и $B(3, 1)$, получаем
$I_{A3} = \frac{ \mathcal{E}}{R} \frac{ \Delta y_{3} }{ \Delta x_{3} } = 180 мА$.
Экспериментатор Глюк собрал цепь из одинаковых идеальных источников постоянного напряжения, конденсаторов различных емкостей и резисторов, сопротивления которых указаны на схеме (рис.). Далее Глюк подключил идеальный амперметр поочередно к двум парам точек цепи. После каждого подключения амперметра Глюк ждал достаточно долго, чтобы ток перестал изменяться, и только после этого записывал показания. Результаты измерений таковы: $I_{A1} = 20 мА , I_{A2} = 720 мА$.
1) Определите, к каким точкам схемы Глюк подключал амперметр в каждом из опытов.
2) Чему будет равна установившаяся сила тока $I_{A3}$ через идеальный амперметр, если его подключить к точкам A и B?
Решение:
Установление постоянного тока через амперметр означает, что вызванные его подключением процессы перезарядки конденсаторов закончились и токи через конденсаторы больше не текут. В таком случае можно упростить схему, заменив каждый конденсатор разрывом цепи (рис.). Для удобства обозначения узлов на схеме введена система координат (х, y). Рассмотрим произвольный контур, состоящий из двух источников и двух одинаковых резисторов (одну "клеточку" на схеме). Обозначив ЭДС источников через $\mathcal{E}$, сопротивления резисторов через $r$ и направив вправо токи $i_{1}$ и $i_{2}$ через верхний и нижний резисторы, запишем второе правило Кирхгофа:
$\mathcal{E} - \mathcal{E} = ri_{1} - ri_{2}$, откуда $i_{1} = i_{2}$.
Это означает, что силы токов через все одинаковые резисторы равны между собой и направлены в одну сторону, поэтому можно обозначить через $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, I_{5}$ и $I_{6}$ силы токов через резисторы сопротивлениями $R, 2R, 3R, 4R, 5R$ и $6R$ соответственно. Отметим, что обнаруженное равенство сил токов наблюдается только в случае идеальных источников. Подключим амперметр к двум произвольным узлам $C(x_{1}, y_{1})$ и $D(x_{2}, y_{2})$, не лежащим на одной вертикали (в противном случае амперметр окажется подключенным напрямую к идеальным источникам и сила тока через него устремится к бесконечности). Без ограничения общности можно считать, что узел С лежит левее узла D, т.е. $x_{1} < x_{2}$, а ток $I_{A}$ через амперметр направлен от D к C. Чтобы было проще следить по рисунку за ходом рассуждений, удобно выбрать для себя какие-нибудь конкретные положения точек C и D - например, считать C совпадающей с B, а D - с A. Вертикальные прямые, проходящие через точки C и D, разделяют схему на три части: левее C, между C и D, правее D. В двух крайних частях цепи токов нет, так как токи через одинаковые резисторы текут в одну сторону, а на краях цепи заряду негде накапливаться и неоткуда взяться, поэтому далее будем рассматривать только среднюю часть цепи - между точками C и D.
Сгруппируем узлы, лежащие на одной вертикали, в обобщенные узлы, тогда токи через источники станут для них внутренними, а внутренние токи не учитываются при записи первого правила Кирхгофа. В обобщенный узел с координатой $x_{1}$ втекает ток силой $I_{A}$, а вытекают $x_{1} + 1$ токов силой $I_{x_{1}} + 1$; в обобщенный узел с координатой $x_{1} + 1$ втекают те же $x_{1} + 1$ токов силой $I_{x+1} + 1$, а вытекают $x_{1} + 2$ токов силой $I_{x_{1}} + 2$; и т.д. до обобщенного узла с координатой $x_{2} - 1$, в который втекают $x_{2} - 1$ токов силой $I_{x_{2}} - 1$ и вытекают $x_{2}$ токов силой $I_{x_{2}}$. Тогда, по первому правилу Кирхгофа,
$I_{A} = (x_{1} + 1 )I_{x_{1} + 1 } = (x_{1} + 2 ) I_{x_{1} + 2 } = \cdots = (x_{2} - 1 ) I_{x_{2} - 1 } = x_{2}I_{x_{2} }$,
откуда для любого $x$ от $x_{1} + 1$ до $x_{2}$ находим
$I_{x} = \frac{I_{A} }{x}$.
Рассмотрим следующий контур: начинаем из узла $D(x_{2}, y_{2})$, проходим через амперметр в узел $C(x_{1}, y_{1})$, проходим через резисторы сопротивлениями $(x_{1} + 1)R, (x_{1} + 2)R, \cdots , x_{2}R$ по горизонтали до узла с координатой $x_{2}$, проходим через $| y_{2} - y_{1}|$ источников по вертикали до узла D. Запишем для этого контура второе правило Кирхгофа:
$(y_{2} - y_{1} ) \mathcal{E} = ( x_{1} + 1)R \cdot I_{x_{1} + 1} + (x_{1} + 2)R \cdot I_{x_{1} + 2} + \cdots + x_{2}R \cdot I_{x_{2}}$,
откуда после подстановки выражения для $I_{x}$ получим
$(y_{2} - y_{1} ) \mathcal{E} = ( x_{2} - x_{1} )RI_{A}$.
Поскольку амперметр показывает абсолютную величину силы тока, то
$I_{A} = \frac{ \mathcal{E} }{R} \left | \frac{y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } \right | = \frac{ \mathcal{E}}{R} \frac{ \Delta y}{ \Delta x}$,
где $\Delta x$ и $\Delta y$ - модули разностей соответствующих координат точек подключения амперметра. Используя численные данные из условия, запишем
$\frac{I_{A2} }{I_{A1} } = \frac{ \Delta x_{1} \cdots \Delta y_{2} }{ \Delta x_{2} \cdot \Delta y_{1} } = 36$.
Поскольку все модули разностей координат являются натуральными числами от 1 до 6, то последнее равенство может быть выполнено только при $\Delta x_{1} = \Delta y_{2} = 6$ и $\Delta x_{2} = \Delta y_{1} = 1$.
Следовательно, в первом опыте амперметр был подключен к точкам $A_{1}(6, 1)$ и $B_{1}(0, 0)$, а во втором - к точкам $A_{2}(6, 6)$ и $B_{2}(5, 0)$.
Используя данные первого или второго опыта, из выражения для $I_{A}$ находим
$\frac{ \mathcal{E} }{R} = I_{A1} \frac{ \Delta x_{1} }{ \Delta y_{1} } = I_{A2} \frac{ \Delta x_{2} }{ \Delta y_{2} } = 120 мА$.
Отсюда для силы тока, протекающего через амперметр, подключенный к точкам $A(5, 4)$ и $B(3, 1)$, получаем
$I_{A3} = \frac{ \mathcal{E}}{R} \frac{ \Delta y_{3} }{ \Delta x_{3} } = 180 мА$.
