ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-03-29   
Небольшой шарик свободно падает на наклонную плоскость и абсолютно упруго отражается от нее. Найдите отношение расстояний между точками последовательных ударов шарика о плоскость.


Решение:



Считаем, что размеры плоскости позволяют шарику многократно отражаться от нее. Поскольку точки удара расположены на плоскости, то разумно ось $x$ направить не горизонтально, а наклонно - вдоль плоскости, а ось $y$ - перпендикулярно ей (рис.). Пусть угол наклона плоскости $\alpha$, модуль скорости шарика при первом ударе $v_{0}$, а угол отскока $90^{ \circ} - \alpha$. Проектируя уравнение $\vec{s} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g}t^{2} }{2}$ на оси $x$ и $y$, имеем соответственно

$x = v_{0} \sin \alpha \cdot t + \frac{g \sin \alpha \cdot t^{2} }{2}$,
$y = v_{0} \cos \alpha \cdot t - \frac{g \cos \alpha \cdot t^{2} }{2}$.

Шарик будет двигаться по любой дуге параболы одно и то же время $T$, определяемое из второго уравнения при $y = 0, t = T$:

$T = \frac{2v_{0} }{g}$.

Найдем абсциссы точек ударов:

$x_{1} = v_{0} \sin \alpha \cdot T + \frac{g \sin \alpha \cdot T^{2} }{2} = \frac{4v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha$,
$x_{2} = v_{0} \sin \alpha \cdot 2T + \frac{g \sin \alpha \cdot (2T)^{2} }{2} = \frac{12v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha$,
$\cdots$
$x_{n} = v_{0} \sin \alpha \cdot nT + \frac{g \sin \alpha \cdot (nT)^{2} }{2} = n(n + 1) \frac{2v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha$,

Отсюда получим

$s_{1} = x_{1} = \frac{4v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha$,
$s_{2} = x_{2} - x_{1} = \frac{8v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha$,
$\cdots$
$s_{n} = x_{n} - x_{n-1} = n \frac{4v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha$,

Следовательно,

$s_{1} : s_{2} : \cdots : s_{n} = 1:2: \cdots : n$.

Весьма интересно, что в физической задаче возник натуральный ряд чисел.