2016-11-19
На гладкой плоскости, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту, лежит доска массой $M$. Куда и с каким ускорением должен бежать по доске мальчик массой $m$, чтобы доска оставалась в покое?
Решение:
В задаче идет речь о двух телах, поэтому следует рассмотреть все силы, действующие на каждое из тел, и записать для каждого закон Ньютона.
$\vec{F}_{тр 2}$ — сила трения, с которой ступни мальчика действуют на доску; $\vec{F}_{тр 1}$ — сила трения, с которой доска действует на ступни мальчика. На рисунке не изображены силы, параллельные у: силы нормального давления (реакции опоры) со стороны плоскости на доску, нормального давления со стороны ступней мальчика на доску и нормального давления со стороны доски на ступни мальчика. Разумеется, в подобных ситуациях догадаться сразу, что учет этих сил не является существенным, не всегда удается. Поэтому, решая задачу по обычному плану, следовало бы эти силы ввести и учесть, и уже дальнейшее решение задачи выявит их несущественность. Дело в том, что для решения данной задачи оказывается достаточным спроецировать основные уравнения динамики для каждого из тел лишь на ось х — при этом силы нормального давления, перпендикулярные оси х, в полученные уравнения не войдут.
Закон Ньютона для мальчика
$\vec{F}_{тр1} + m \vec{g} + \vec{N} = m \vec{a}$,
где $\vec{N}$ — сила нормального давления со стороны доски, в проекции на ось х дает:
$F_{тр1} + mg \sin \alpha = ma$. (1)
Закон Ньютона для доски
$\vec{F}_{тр 2} + M \vec{g} + \vec{N}_{2} \vec{N}_{3} = 0$,
где $\vec{N}_{2}$ — сила нормального давления на доску со стороны плоскости, $\vec{N}_{3}$ — то же со стороны ступней мальчика, в проекции на ось х:
$Mg \sin \alpha - F_{тр 2} = 0$ (2)
(учтено, что доска по условию задачи находится в покое).
Кроме того,_воспользуемся третьим законом Ньютона: $- \vec{F}_{тр1} = \vec{F}_{тр 2}$ или, для модулей этих величин:
$F_{тр 1} = F_{тр 2}$. (3)
Система уравнений (1, 2, 3) позволяет решить задачу:
$a = \frac{m+M}{m} g \sin \alpha$.
Направление ускорения мальчика показано на рисунке. Что же касается направления движения (скорости) мальчика, то оно может быть произвольным и зависит от начальных условий. Так, если в начальный момент мальчик покоился относительно доски, то его дальнейшее движение направлено по ускорению (вниз вдоль плоскости). Если же мальчик снизу вбегает на доску, то, очевидно, скорость мальчика некоторое время будет направлена против ускорения, при этом движение в отличие от первого случая является равнозамедленным. Если доска достаточно большой длины, то мальчик в какой-то момент времени остановится и затем начнет двигаться вниз вдоль плоскости (по направлению ускорения).