Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13787
2020-03-27 
Найдите период малых колебаний поршня массой $m$, разделяющего гладкий цилиндрический сосуд сечением $S$ на две части длиной $l$ каждая. По обе стороны от поршня находится идеальный одноатомный газ при давлении $p_{0}$. Считайте, что при колебаниях температура не меняется. Как изменится ответ, если пренебречь теплообменом?
Решение:
Если температура постоянна, то при смещении поршня для каждой половины цилиндра $pV = const$, т.е.
$(p_{0} + \Delta p)(V_{0} + \Delta V) = p_{0}V_{0}$.
Отсюда, пренебрегая величиной $\Delta p \Delta V$, получим
$\Delta p V_{0} = - \Delta Vp_{0}$.
Поскольку $\Delta p = \frac{ \Delta F_{x}}{S}$ и $\Delta V = Sx$, где $x$ - малое смещение поршня (рис.), то
$\Delta F_{x} = - \frac{p_{0}S^{2} }{V_{0} } x = - \frac{ p_{0}S }{l} x$.
Полная возвращающая сила, действующая со стороны обоих газов, равна
$F_{x} = - \frac{2p_{0}S}{l} x$.
Отсюда находим период малых колебаний поршня:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ml}{2p_{0}S } }$.
Видно, что ответ верен для любого идеального газа. Однако в действительности приближение постоянства температуры выполняется плохо (только при очень медленных колебаниях). В этом случае из первого начала термодинамики следует $0 = \Delta U + A$. Поскольку внутренняя энергия однотомного идеального газа равна $U = \frac{3}{2} pV$, то $\Delta U = \frac{3}{2} p_{0} \Delta V + \frac{3}{2} V_{0} \Delta p$, а работа газа равна $A = p_{0} \Delta V$. Отсюда получаем
$0 = \frac{5}{2} p_{0} \Delta V + \frac{3}{2} V_{0} \Delta p$, или $\Delta pV_{0} = - \frac{5}{3} \Delta Vp_{0}$.
После преобразований находим период колебаний:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{3ml}{10p_{0}S } }$.
Найдите период малых колебаний поршня массой $m$, разделяющего гладкий цилиндрический сосуд сечением $S$ на две части длиной $l$ каждая. По обе стороны от поршня находится идеальный одноатомный газ при давлении $p_{0}$. Считайте, что при колебаниях температура не меняется. Как изменится ответ, если пренебречь теплообменом?
Решение:
Если температура постоянна, то при смещении поршня для каждой половины цилиндра $pV = const$, т.е.
$(p_{0} + \Delta p)(V_{0} + \Delta V) = p_{0}V_{0}$.
Отсюда, пренебрегая величиной $\Delta p \Delta V$, получим
$\Delta p V_{0} = - \Delta Vp_{0}$.
Поскольку $\Delta p = \frac{ \Delta F_{x}}{S}$ и $\Delta V = Sx$, где $x$ - малое смещение поршня (рис.), то
$\Delta F_{x} = - \frac{p_{0}S^{2} }{V_{0} } x = - \frac{ p_{0}S }{l} x$.
Полная возвращающая сила, действующая со стороны обоих газов, равна
$F_{x} = - \frac{2p_{0}S}{l} x$.
Отсюда находим период малых колебаний поршня:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ml}{2p_{0}S } }$.
Видно, что ответ верен для любого идеального газа. Однако в действительности приближение постоянства температуры выполняется плохо (только при очень медленных колебаниях). В этом случае из первого начала термодинамики следует $0 = \Delta U + A$. Поскольку внутренняя энергия однотомного идеального газа равна $U = \frac{3}{2} pV$, то $\Delta U = \frac{3}{2} p_{0} \Delta V + \frac{3}{2} V_{0} \Delta p$, а работа газа равна $A = p_{0} \Delta V$. Отсюда получаем
$0 = \frac{5}{2} p_{0} \Delta V + \frac{3}{2} V_{0} \Delta p$, или $\Delta pV_{0} = - \frac{5}{3} \Delta Vp_{0}$.
После преобразований находим период колебаний:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{3ml}{10p_{0}S } }$.
