Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13778
2020-03-27 
Тело падает на Землю с высоты, равной ее радиусу $R$, без начальной скорости. Найдите время $t$ падения тела.
Решение:
Чтобы избежать применения интегрального исчисления, проведем мысленный эксперимент. Пусть телу на высоте $R$ сообщена сколь угодно малая горизонтальная скорость $\vec{v}_{0}$ (рис.). Тогда в силу первого закона Кеплера тело будет двигаться по дуге эллипса с большой полуосью, равной $R$, бесконечно мало отличающейся от отрезка прямой. Значит, времена криволинейного и прямолинейного движений тела будут равны. По третьему закону Кеплера период обращения тела по эллипсу $T$ равен периоду обращения низкого кругового искусственного спутника Земли:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Согласно второму закону Кеплера,
$\frac{t}{T} = \frac{S}{ \pi Rb}$,
где $S$ - закрашенная на рисунке площадь, "заметаемая" радиусом-вектором тела, проведенным из центра Земли, совпадающим с фокусом эллипса. Легко видеть, что, с достаточной степенью точности,
$S = \frac{ \pi Rb}{4} + \frac{Rb}{2}$.
Тогда
$t = T \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \pi} \right ) = \left ( \frac{ \pi}{2} + 1 \right ) \sqrt{ \frac{R}{g} } \approx 34 мин$.
Тело падает на Землю с высоты, равной ее радиусу $R$, без начальной скорости. Найдите время $t$ падения тела.
Решение:
Чтобы избежать применения интегрального исчисления, проведем мысленный эксперимент. Пусть телу на высоте $R$ сообщена сколь угодно малая горизонтальная скорость $\vec{v}_{0}$ (рис.). Тогда в силу первого закона Кеплера тело будет двигаться по дуге эллипса с большой полуосью, равной $R$, бесконечно мало отличающейся от отрезка прямой. Значит, времена криволинейного и прямолинейного движений тела будут равны. По третьему закону Кеплера период обращения тела по эллипсу $T$ равен периоду обращения низкого кругового искусственного спутника Земли:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g} }$.
Согласно второму закону Кеплера,
$\frac{t}{T} = \frac{S}{ \pi Rb}$,
где $S$ - закрашенная на рисунке площадь, "заметаемая" радиусом-вектором тела, проведенным из центра Земли, совпадающим с фокусом эллипса. Легко видеть, что, с достаточной степенью точности,
$S = \frac{ \pi Rb}{4} + \frac{Rb}{2}$.
Тогда
$t = T \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \pi} \right ) = \left ( \frac{ \pi}{2} + 1 \right ) \sqrt{ \frac{R}{g} } \approx 34 мин$.
