Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1376
2016-11-18 
С каким ускорением должна двигаться обезьяна массой $m$, чтобы груз массой $M$ оставался в покое (см. рисунок)? Трос считать невесомым, нерастяжимым, массой блока и трением пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На груз действует сила натяжения (упругости) троса $\vec{T}_{1}$ и сила тяжести $M \vec{g}$ На обезьяну действует сила натяжения троса $\vec{T}_{2}$ и сила тяжести $m \vec{g}$. Поскольку трос невесом и силой трения пренебрегается, сила натяжения троса в любом его сечении постоянна, в частности,
$T_{1}=T_{2}=T$. (1)
Доказательство этого утверждения приведем ниже.
Направление ускорения обезьяны, очевидно, зависит от соотношения масс $m$ и $M$. Для определенности направим его вверх.
Записываем закон Ньютона для груза:
$\vec{T}_{1} + M \vec{g} = 0$ (2)
и для обезьяны:
$\vec{T}_{2} + m \vec{g} = m \vec{a}$. (3)
Спроецируем векторные равенства (2,3) на ось х:
$T - Mg = 0$ (2)
$T - mg = ma$, (3)
где учтено (1).
Решая систему уравнений (2) и (3), окончательно находим:
$a = \frac{M-m}{m}g$.
Видно, что если $M - m \geq 0$, то и $a \geq 0$ и, следовательно, выбор направления ускорения верен. Если $M - m < 0$, то $a < 0$, что невозможно ($a = | \vec{a} |$). Следовательно, при выполнении второго условия ускорение обезьяны направлено вниз.
Доказательство соотношения (1) представляет собой задачу на динамику. В соответствии с этим запишем закон Ньютона для участка троса справа или слева от блока:
$\vec{f}_{1} + \vec{f}_{2} + \Delta m \vec{g} = \Delta m \vec{a}$, (4)
где $\Delta m$ — масса мысленно выделенного нами участка троса, $\vec{f}_{1}$ и $\vec{f}_{2}$ — силы, действующие со стороны соединяющих участков троса, непосредственно примыкающих к выделенному. Поскольку по условию трос невесом, мы вправе положить $\Delta m = 0$, и, следовательно, силы натяжения троса в точках 1 и 2 равны по модулю: $f_{1} = f_{2}$. Таким образом, сила натяжения прямолинейных участков троса во всех точках одинакова.
Рассмотрим участок троса, соприкасающийся с блоком. Длину его возьмем настолько малой, чтобы считать прямым отрезком. Кроме учтенных ранее сил в соотношении (4), войдет сила реакции опоры со стороны блока $\vec{N}$, а сила трения со стороны блока, действующая на трос, по условию равна нулю.
Записываем закон Ньютона
$\vec{f}_{1} + \vec{f}_{2} + \Delta m \vec{g} + \vec{N} = \Delta m \vec{a}$ (5)
в проекции на ось х, направленную перпендикулярно вектору $\vec{N}$, и, с учетом $\Delta m = 0$, вновь получаем $f_{1} = f_{2}$.
В итоге делаем вывод, что сила натяжения троса по всей длине от груза до обезьяны одинакова.
С каким ускорением должна двигаться обезьяна массой $m$, чтобы груз массой $M$ оставался в покое (см. рисунок)? Трос считать невесомым, нерастяжимым, массой блока и трением пренебречь.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На груз действует сила натяжения (упругости) троса $\vec{T}_{1}$ и сила тяжести $M \vec{g}$ На обезьяну действует сила натяжения троса $\vec{T}_{2}$ и сила тяжести $m \vec{g}$. Поскольку трос невесом и силой трения пренебрегается, сила натяжения троса в любом его сечении постоянна, в частности,
$T_{1}=T_{2}=T$. (1)
Доказательство этого утверждения приведем ниже.
Направление ускорения обезьяны, очевидно, зависит от соотношения масс $m$ и $M$. Для определенности направим его вверх.
Записываем закон Ньютона для груза:
$\vec{T}_{1} + M \vec{g} = 0$ (2)
и для обезьяны:
$\vec{T}_{2} + m \vec{g} = m \vec{a}$. (3)
Спроецируем векторные равенства (2,3) на ось х:
$T - Mg = 0$ (2)
$T - mg = ma$, (3)
где учтено (1).
Решая систему уравнений (2) и (3), окончательно находим:
$a = \frac{M-m}{m}g$.
Видно, что если $M - m \geq 0$, то и $a \geq 0$ и, следовательно, выбор направления ускорения верен. Если $M - m < 0$, то $a < 0$, что невозможно ($a = | \vec{a} |$). Следовательно, при выполнении второго условия ускорение обезьяны направлено вниз.
Доказательство соотношения (1) представляет собой задачу на динамику. В соответствии с этим запишем закон Ньютона для участка троса справа или слева от блока:
$\vec{f}_{1} + \vec{f}_{2} + \Delta m \vec{g} = \Delta m \vec{a}$, (4)
где $\Delta m$ — масса мысленно выделенного нами участка троса, $\vec{f}_{1}$ и $\vec{f}_{2}$ — силы, действующие со стороны соединяющих участков троса, непосредственно примыкающих к выделенному. Поскольку по условию трос невесом, мы вправе положить $\Delta m = 0$, и, следовательно, силы натяжения троса в точках 1 и 2 равны по модулю: $f_{1} = f_{2}$. Таким образом, сила натяжения прямолинейных участков троса во всех точках одинакова.
Рассмотрим участок троса, соприкасающийся с блоком. Длину его возьмем настолько малой, чтобы считать прямым отрезком. Кроме учтенных ранее сил в соотношении (4), войдет сила реакции опоры со стороны блока $\vec{N}$, а сила трения со стороны блока, действующая на трос, по условию равна нулю.
Записываем закон Ньютона
$\vec{f}_{1} + \vec{f}_{2} + \Delta m \vec{g} + \vec{N} = \Delta m \vec{a}$ (5)
в проекции на ось х, направленную перпендикулярно вектору $\vec{N}$, и, с учетом $\Delta m = 0$, вновь получаем $f_{1} = f_{2}$.
В итоге делаем вывод, что сила натяжения троса по всей длине от груза до обезьяны одинакова.
