Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13758
2020-03-22 
По гладкой горизонтальной направляющей длиной $2l$ скользит бусинка массой $m$ с положительным зарядом $Q$. На концах направляющей находятся одинаковые положительные заряды $q$ (рис.). Бусинка совершает малые колебания около положения равновесия с периодом $T$. Чему будет равен период колебаний бусинки, если: а) ее заряд увеличить в два раза; б) длину $l$ увеличить в два раза?
Решение:
Возвращающая сила, возникающая при смещении бусинки вдоль направляющей, равна равнодействующей двух кулоновских сил:
$F = k \frac{qQ}{(l + x)^{2} } - k \frac{qQ}{(l-x)^{2} } = - k \frac{4qQlx}{(l^{2} - x^{2} )^{2} } = - \frac{4kqQ}{l^{3} }x$.
Получаем
$k_{эф} = \frac{4kqQ}{l^{3}}$, и $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{эф} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ml^{3} }{4kqQ} }$.
При увеличении заряда $Q$ в два раза период колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз, а при увеличении длины $l$ в два раза - увеличится в $2 \sqrt{2}$ раз.
Отметим, что ответ на первый вопрос очевиден и без расчетов. Действительно, при увеличении $Q$ в два раза все кулоновские силы (при заданном $x$) возрастут в два раза, следовательно, возвращающая сила возрастет в два раза, а значит, и $k_{эф}$ возрастет тоже в два раза.
Энергетический подход здесь возможен, но оказывается более громоздким, чем динамический. Начнем с того, что не все школьники знакомы с потенциальной энергией кулоновского взаимодействия. Кроме того, необходимо учесть потенциальную энергию в точке равновесия (от этого положения в энергетическом подходе отсчитывается потенциальная энергия). Получаем
$E_{п} = k \frac{qQ}{l + x} + k \frac{qQ}{l - x} - 2k \frac{qQ}{l} = k \frac{2qQl}{l^{2} - x^{2} } - 2k \frac{qQ}{l} = k \frac{2qQl(l^{2} + x^{2} ) }{l^{4} - x^{4} } - 2k \frac{qQ}{l} \approx \frac{4kqQ}{l^{3} } \frac{x^{2} }{2}$.
По гладкой горизонтальной направляющей длиной $2l$ скользит бусинка массой $m$ с положительным зарядом $Q$. На концах направляющей находятся одинаковые положительные заряды $q$ (рис.). Бусинка совершает малые колебания около положения равновесия с периодом $T$. Чему будет равен период колебаний бусинки, если: а) ее заряд увеличить в два раза; б) длину $l$ увеличить в два раза?
Решение:
Возвращающая сила, возникающая при смещении бусинки вдоль направляющей, равна равнодействующей двух кулоновских сил:
$F = k \frac{qQ}{(l + x)^{2} } - k \frac{qQ}{(l-x)^{2} } = - k \frac{4qQlx}{(l^{2} - x^{2} )^{2} } = - \frac{4kqQ}{l^{3} }x$.
Получаем
$k_{эф} = \frac{4kqQ}{l^{3}}$, и $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{эф} } } = 2 \pi \sqrt{ \frac{ml^{3} }{4kqQ} }$.
При увеличении заряда $Q$ в два раза период колебаний уменьшится в $\sqrt{2}$ раз, а при увеличении длины $l$ в два раза - увеличится в $2 \sqrt{2}$ раз.
Отметим, что ответ на первый вопрос очевиден и без расчетов. Действительно, при увеличении $Q$ в два раза все кулоновские силы (при заданном $x$) возрастут в два раза, следовательно, возвращающая сила возрастет в два раза, а значит, и $k_{эф}$ возрастет тоже в два раза.
Энергетический подход здесь возможен, но оказывается более громоздким, чем динамический. Начнем с того, что не все школьники знакомы с потенциальной энергией кулоновского взаимодействия. Кроме того, необходимо учесть потенциальную энергию в точке равновесия (от этого положения в энергетическом подходе отсчитывается потенциальная энергия). Получаем
$E_{п} = k \frac{qQ}{l + x} + k \frac{qQ}{l - x} - 2k \frac{qQ}{l} = k \frac{2qQl}{l^{2} - x^{2} } - 2k \frac{qQ}{l} = k \frac{2qQl(l^{2} + x^{2} ) }{l^{4} - x^{4} } - 2k \frac{qQ}{l} \approx \frac{4kqQ}{l^{3} } \frac{x^{2} }{2}$.
