Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13757
2020-03-22 
В теплоизолированном вертикальном цилиндре под поршнем находится одноатомный идеальный газ (рис.). Найдите частоту малых колебаний поршня. Расстояние от поршня до дна цилиндра $l$. Над поршнем газа нет.
Решение:
При смещении поршня на малое расстояние $x$ объем газа изменяется на $\Delta V = Sx$, в результате давление изменяется на $\Delta p$ и возникает возвращающая сила $F_{x} = \Delta pS$. Чтобы найти $\Delta p$, запишем первый закон термодинамики:
$0 = \Delta U + p \Delta V$.
Поскольку внутренняя энергия одноатомного идеального газа равна $U = 3pV$, то $\Delta U = 3p \Delta V + \frac{3}{2} V \Delta p$. Получаем
$0 = \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V$,
откуда находим изменение давления:
$\Delta p = - \frac{5}{3} p \frac{ \Delta V}{V} = - \frac{5}{3} p \frac{x}{l}$
и возвращающую силу:
$F_{x} = \Delta p S = - \frac{5}{3} \frac{pS}{l}x = - \frac{5}{3} \frac{mg}{l}x$
(из условия равновесия поршня $pS = mg$). Отсюда получаем
$k_{эф} = \frac{5}{3} \frac{mg}{l}$, и $\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m} } = \sqrt{ \frac{5g}{3l} }$.
Замечание. Если решать задачу в предположении постоянства температуры $T$ (стенки хорошо проводят тепло, колебания достаточно медленные), то из уравнения состояния и условия $\Delta T = 0$ запишем
$p \Delta V + V \Delta p = 0$,
откуда для эффективной жесткости и частоты колебаний получим
$k_{эф} = \frac{mg}{l}$, и $\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m} } = \sqrt{ \frac{g}{l} }$.
В теплоизолированном вертикальном цилиндре под поршнем находится одноатомный идеальный газ (рис.). Найдите частоту малых колебаний поршня. Расстояние от поршня до дна цилиндра $l$. Над поршнем газа нет.
Решение:
При смещении поршня на малое расстояние $x$ объем газа изменяется на $\Delta V = Sx$, в результате давление изменяется на $\Delta p$ и возникает возвращающая сила $F_{x} = \Delta pS$. Чтобы найти $\Delta p$, запишем первый закон термодинамики:
$0 = \Delta U + p \Delta V$.
Поскольку внутренняя энергия одноатомного идеального газа равна $U = 3pV$, то $\Delta U = 3p \Delta V + \frac{3}{2} V \Delta p$. Получаем
$0 = \frac{3}{2} V \Delta p + \frac{5}{2} p \Delta V$,
откуда находим изменение давления:
$\Delta p = - \frac{5}{3} p \frac{ \Delta V}{V} = - \frac{5}{3} p \frac{x}{l}$
и возвращающую силу:
$F_{x} = \Delta p S = - \frac{5}{3} \frac{pS}{l}x = - \frac{5}{3} \frac{mg}{l}x$
(из условия равновесия поршня $pS = mg$). Отсюда получаем
$k_{эф} = \frac{5}{3} \frac{mg}{l}$, и $\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m} } = \sqrt{ \frac{5g}{3l} }$.
Замечание. Если решать задачу в предположении постоянства температуры $T$ (стенки хорошо проводят тепло, колебания достаточно медленные), то из уравнения состояния и условия $\Delta T = 0$ запишем
$p \Delta V + V \Delta p = 0$,
откуда для эффективной жесткости и частоты колебаний получим
$k_{эф} = \frac{mg}{l}$, и $\omega = \sqrt{ \frac{k_{эф} }{m} } = \sqrt{ \frac{g}{l} }$.
