Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13756
2020-03-22 
В земном шаре прорезан воображаемый прямолинейный туннель, соединяющий два города (рис.). Если обеспечить полное отсутствие трения при движении капсулы вдоль этого туннеля, то за какое время она, двигаясь только за счет силы тяготения, пролетит от одного города до другого? Землю считать однородным шаром.
Решение:
Если разбить земной шар радиусом $R_{з}$ на сферические слои, то на тело, находящееся внутри на расстоянии $r$ от центра, будут действовать только слои с радиусом меньше $r$, а сила, действующая со стороны любого слоя с радиусом больше $r$, строго равна нулю. (Доказательство этого утверждения можно найти во многих учебниках.) Следовательно, наша капсула притягивается к шару радиусом $r$ и массой
$M_{r} = M \frac{r^{3} }{R_{з}^{3} }$
(масса пропорциональна объему). Сила притяжения равна
$F = G \frac{mM_{r} }{r^{2} } = G \frac{mM}{R_{з}^{2} } \frac{r}{R_{з} } = mg \frac{r}{R_{з} }$,
а возвращающая сила равна
$F_{x} = - F \sin \alpha = - mg \frac{r}{R_{з} } \frac{x}{r} = - mg \frac{x}{R_{з} }$.
Поскольку возвращающая сила пропорциональна $x$, тело будет совершать гармонические колебания. Время движения от одного города до другого равно половине периода этих колебаний:
$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{эф} } } = \pi \sqrt{ \frac{R_{з} }{g} } \approx 42 мин$.
Интересно, что время не зависит от длины туннеля.
Энергетический подход в этой задаче хотя и возможен принципиально, но приводит к громоздким вычислениям.
В земном шаре прорезан воображаемый прямолинейный туннель, соединяющий два города (рис.). Если обеспечить полное отсутствие трения при движении капсулы вдоль этого туннеля, то за какое время она, двигаясь только за счет силы тяготения, пролетит от одного города до другого? Землю считать однородным шаром.
Решение:
Если разбить земной шар радиусом $R_{з}$ на сферические слои, то на тело, находящееся внутри на расстоянии $r$ от центра, будут действовать только слои с радиусом меньше $r$, а сила, действующая со стороны любого слоя с радиусом больше $r$, строго равна нулю. (Доказательство этого утверждения можно найти во многих учебниках.) Следовательно, наша капсула притягивается к шару радиусом $r$ и массой
$M_{r} = M \frac{r^{3} }{R_{з}^{3} }$
(масса пропорциональна объему). Сила притяжения равна
$F = G \frac{mM_{r} }{r^{2} } = G \frac{mM}{R_{з}^{2} } \frac{r}{R_{з} } = mg \frac{r}{R_{з} }$,
а возвращающая сила равна
$F_{x} = - F \sin \alpha = - mg \frac{r}{R_{з} } \frac{x}{r} = - mg \frac{x}{R_{з} }$.
Поскольку возвращающая сила пропорциональна $x$, тело будет совершать гармонические колебания. Время движения от одного города до другого равно половине периода этих колебаний:
$t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{ \frac{m}{k_{эф} } } = \pi \sqrt{ \frac{R_{з} }{g} } \approx 42 мин$.
Интересно, что время не зависит от длины туннеля.
Энергетический подход в этой задаче хотя и возможен принципиально, но приводит к громоздким вычислениям.
