Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13747
2020-03-16 
Две частицы одной и той же массы $m$, заряды которых равны по модулю, но противоположны по знаку, находятся в однородном магнитном поле с индукцией $B$ в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$, на расстоянии $L$ друг от друга. Частицы одновременно отпускают. Найдите минимальное расстояние между частицами.
Решение:
Введем оси координат так: ось X направим от положительно заряженной частицы к отрицательно заряженной частице, ось Y - перпендикулярно оси X в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, в направлении отклонения частиц в начале движения (рис.). Частицы движутся навстречу друг другу и отклоняются магнитным поле в одном направлении, так что отрезок, соединяющий частицы, остается все время параллельным оси X.
Запишем, например, для положительно заряженной частицы второй закон Ньютона в проекции на ось Y (см. рис.):
$m \frac{ \Delta v_{y} }{ \Delta t} = qvB \cos \alpha = qv_{x}B$.
Умножая на $\Delta t$ и суммируя, получим $mv_{y} = qxB$, или, выразив координату частицы x через расстояние между частицами, -
$mv_{y} = \frac{q(L - r)B}{2}$. (1)
В момент, когда расстояние между частицами минимально (точка A), $v_{x} = 0$, и уравнение (1) принимает вид
$mv = \frac{q(L - r)B}{2}$. (2)
Поскольку сила Лоренца работу не совершает, закон сохранения энергии запишем в виде
$- \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L } = - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}r } + 2 \frac{mv^{2} }{2}$. (3)
Подставив сюда v из уравнения (2), после преобразований получим уравнение
$r^{2} - Lr + \frac{m}{ \pi \epsilon_{0}LB^{2} } = 0$. (4)
Это уравнение имеет два положительных корня:
$r = \frac{L}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}B^{2}L^{3} } } \right )$.
Возникает вопрос: какой же из корней правильный? При заданном $L$ решение существует в следующем диапазоне значений $B$:
$B_{0} \leq B \leq \infty$, где $B_{0} = \sqrt{ \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}L^{3} } }$.
При $B < B_{0}$ корни отсутствуют, что означает, что минимального расстояния не существует, т.е. частицы обязательно столкнутся друг с другом. А при $B \rightarrow \infty$ минимальное расстояние должно стремиться не к нулю, а к $L$. Таким образом, правильным является больший корень
$r = \frac{L}{2} \left ( 1 + \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0} B^{2}L^{3} } } \right )$.
Но вот что выглядит удивительным и непонятным: при $B = B_{0}$, когда дискриминант равен нулю, минимальное расстояние между частицами равно $\frac{L}{2}$. Следовательно, минимальное расстояние между частицами никогда не может быть меньше $\frac{L}{2}$! Чтобы понять, почему так происходит, выразим проекцию скорости на ось X из закона сохранения энергии (9) и уравнения (7):
$v_{x}^{2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}rm } - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}Lm } - v_{y}^{2} = \frac{q^{2} (L - r) }{4 \pi \epsilon_{0}rLm } - \frac{q^{2}(L - r)^{2}B^{2} }{4m^{2} } = \frac{q^{2}B^{2} }{4m^{2} } \frac{L-r}{r} \left ( r^{2} - Lr + \frac{m}{ \pi \epsilon_{0}LB^{2} } \right )$.
Примерный график зависимости $v_{x}^{2}$ от $r$ изображен на рисунке для трех случаев: $B > B_{0}, B = B_{0}$ и $B < B_{0}$. Выражение в последних скобках совпадает с левой частью уравнения (4); точки пересечения графика с абсциссой совпадают с корнями этого уравнения. Частицы движутся в области от $L$ до большего корня $r$; в области между корнями движение невозможно, поэтому область от меньшего корня до нуля недостижима. При $B < B_{0}$ расстояние между частицами уменьшается от $L$ до нуля (частицы сталкиваются).
Две частицы одной и той же массы $m$, заряды которых равны по модулю, но противоположны по знаку, находятся в однородном магнитном поле с индукцией $B$ в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$, на расстоянии $L$ друг от друга. Частицы одновременно отпускают. Найдите минимальное расстояние между частицами.
Решение:
Введем оси координат так: ось X направим от положительно заряженной частицы к отрицательно заряженной частице, ось Y - перпендикулярно оси X в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, в направлении отклонения частиц в начале движения (рис.). Частицы движутся навстречу друг другу и отклоняются магнитным поле в одном направлении, так что отрезок, соединяющий частицы, остается все время параллельным оси X.
Запишем, например, для положительно заряженной частицы второй закон Ньютона в проекции на ось Y (см. рис.):
$m \frac{ \Delta v_{y} }{ \Delta t} = qvB \cos \alpha = qv_{x}B$.
Умножая на $\Delta t$ и суммируя, получим $mv_{y} = qxB$, или, выразив координату частицы x через расстояние между частицами, -
$mv_{y} = \frac{q(L - r)B}{2}$. (1)
В момент, когда расстояние между частицами минимально (точка A), $v_{x} = 0$, и уравнение (1) принимает вид
$mv = \frac{q(L - r)B}{2}$. (2)
Поскольку сила Лоренца работу не совершает, закон сохранения энергии запишем в виде
$- \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}L } = - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}r } + 2 \frac{mv^{2} }{2}$. (3)
Подставив сюда v из уравнения (2), после преобразований получим уравнение
$r^{2} - Lr + \frac{m}{ \pi \epsilon_{0}LB^{2} } = 0$. (4)
Это уравнение имеет два положительных корня:
$r = \frac{L}{2} \left ( 1 \pm \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}B^{2}L^{3} } } \right )$.
Возникает вопрос: какой же из корней правильный? При заданном $L$ решение существует в следующем диапазоне значений $B$:
$B_{0} \leq B \leq \infty$, где $B_{0} = \sqrt{ \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0}L^{3} } }$.
При $B < B_{0}$ корни отсутствуют, что означает, что минимального расстояния не существует, т.е. частицы обязательно столкнутся друг с другом. А при $B \rightarrow \infty$ минимальное расстояние должно стремиться не к нулю, а к $L$. Таким образом, правильным является больший корень
$r = \frac{L}{2} \left ( 1 + \sqrt{1 - \frac{4m}{ \pi \epsilon_{0} B^{2}L^{3} } } \right )$.
Но вот что выглядит удивительным и непонятным: при $B = B_{0}$, когда дискриминант равен нулю, минимальное расстояние между частицами равно $\frac{L}{2}$. Следовательно, минимальное расстояние между частицами никогда не может быть меньше $\frac{L}{2}$! Чтобы понять, почему так происходит, выразим проекцию скорости на ось X из закона сохранения энергии (9) и уравнения (7):
$v_{x}^{2} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}rm } - \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}Lm } - v_{y}^{2} = \frac{q^{2} (L - r) }{4 \pi \epsilon_{0}rLm } - \frac{q^{2}(L - r)^{2}B^{2} }{4m^{2} } = \frac{q^{2}B^{2} }{4m^{2} } \frac{L-r}{r} \left ( r^{2} - Lr + \frac{m}{ \pi \epsilon_{0}LB^{2} } \right )$.
Примерный график зависимости $v_{x}^{2}$ от $r$ изображен на рисунке для трех случаев: $B > B_{0}, B = B_{0}$ и $B < B_{0}$. Выражение в последних скобках совпадает с левой частью уравнения (4); точки пересечения графика с абсциссой совпадают с корнями этого уравнения. Частицы движутся в области от $L$ до большего корня $r$; в области между корнями движение невозможно, поэтому область от меньшего корня до нуля недостижима. При $B < B_{0}$ расстояние между частицами уменьшается от $L$ до нуля (частицы сталкиваются).
