Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13746
2020-03-16 
Два одинаковых конуса равномерно прижаты друг к другу вдоль направляющих так, что их оси параллельны. Один из конусов вращают с постоянной угловой скоростью $\omega_{1}$, а второй приводится во вращение силами трения со стороны первого конуса. Какой будет установившаяся угловая скорость вращения второго конуса?
Решение:
В этой задаче уравнение моментов применяется не к покоящемуся, а к вращающему телу (второму, т.е. ведомому конусу). При его установившемся вращении, т.е. при вращении с постоянной угловой скоростью, сумма моментов внешних сил относительно оси вращении равна нулю. Для второго конуса внешними силами, создающими момент, являются только силы трения на линии соприкосновения с первым конусом (рис.). На левой части этой линии длиной $\frac{R_{2}}{ \cos \alpha}$ скорость точек первого конуса больше, чем второго, и силы трения направлены от нас, а на правой части этой линии длиной $\frac{R - R_{2}}{\cos \alpha}$ силы трения направлены к нам. В точке радиусом $R_{1} = R - R_{2}$ скорости точек поверхностей конусов одинаковы:
$\omega_{1} (R - R_{2} ) = \omega_{2}R_{2}$.
Чтобы найти $R_{2}$, запишем уравнение моментов. Сила трения, действующая на отрезке линии соприкосновения длиной $l$, равна $F_{тр} = fl$, где $f$ - сила трения на единицу длины. Плечо силы трения линейно меняется вдоль линии соприкосновения. Однако, не вдаваясь в подробное доказательство, скажем, что момент силы трения на отрезке, где силы трения во всех точках направлены в одну сторону, равен произведению силы трения на среднее плечо. Получаем
$f \frac{R_{2}}{ \cos \alpha } \frac{0 + R_{2}}{2} = f \frac{R - R_{2}}{ \cos \alpha} \frac{R_{2} + R}{2}$,
откуда
$R_{2} = \frac{R \sqrt{2} }{2}$.
Теперь находим искомую угловую скорость:
$\omega_{2} = ( \sqrt{2} - 1) \omega_{1}$.
Два одинаковых конуса равномерно прижаты друг к другу вдоль направляющих так, что их оси параллельны. Один из конусов вращают с постоянной угловой скоростью $\omega_{1}$, а второй приводится во вращение силами трения со стороны первого конуса. Какой будет установившаяся угловая скорость вращения второго конуса?
Решение:
В этой задаче уравнение моментов применяется не к покоящемуся, а к вращающему телу (второму, т.е. ведомому конусу). При его установившемся вращении, т.е. при вращении с постоянной угловой скоростью, сумма моментов внешних сил относительно оси вращении равна нулю. Для второго конуса внешними силами, создающими момент, являются только силы трения на линии соприкосновения с первым конусом (рис.). На левой части этой линии длиной $\frac{R_{2}}{ \cos \alpha}$ скорость точек первого конуса больше, чем второго, и силы трения направлены от нас, а на правой части этой линии длиной $\frac{R - R_{2}}{\cos \alpha}$ силы трения направлены к нам. В точке радиусом $R_{1} = R - R_{2}$ скорости точек поверхностей конусов одинаковы:
$\omega_{1} (R - R_{2} ) = \omega_{2}R_{2}$.
Чтобы найти $R_{2}$, запишем уравнение моментов. Сила трения, действующая на отрезке линии соприкосновения длиной $l$, равна $F_{тр} = fl$, где $f$ - сила трения на единицу длины. Плечо силы трения линейно меняется вдоль линии соприкосновения. Однако, не вдаваясь в подробное доказательство, скажем, что момент силы трения на отрезке, где силы трения во всех точках направлены в одну сторону, равен произведению силы трения на среднее плечо. Получаем
$f \frac{R_{2}}{ \cos \alpha } \frac{0 + R_{2}}{2} = f \frac{R - R_{2}}{ \cos \alpha} \frac{R_{2} + R}{2}$,
откуда
$R_{2} = \frac{R \sqrt{2} }{2}$.
Теперь находим искомую угловую скорость:
$\omega_{2} = ( \sqrt{2} - 1) \omega_{1}$.
