Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13743
2020-03-16 
Каков максимальным угол $\theta$ упругого рассеяния $\alpha$ - частицы на дейтроне? Дейтрон - ядро изотопа водорода дейтерия, состоит из протона и нейтрона, $\alpha$ - частица - ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в два раза меньше массы $\alpha$ - частицы.
Решение:
Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ - массы $\alpha$ - частицы и дейтрона соответственно, $v_{0}$ и $v_{1}$ - скорости $\alpha$ - частицы до и после столкновения, $v_{2}$ - скорость дейтрона после столкновения, $\delta$ и $\phi$ - углы отклонения $\alpha$ - частицы и дейтрона от направления движения $\alpha$ - частицы до столкновения (рис.). Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$m_{1}v_{0} = m_{1}v_{1} \cos \delta + m_{2}v_{2} \cos \phi, m_{1}v_{1} \sin \delta = m_{2}v_{2} \sin \phi$,
или, поскольку $m_{1} = 2m_{2}$,
$2v_{0} = 2v_{1} \cos \delta + v_{2} \cos \phi, 2v_{1} \sin \delta = v_{2} \sin \phi$.
Избавимся от угла $\phi$. Для этого из первого равенства выразим $v_{2} \cos \phi$ и возведем в квадрат, после чего сложим с квадратом второго равенства:
$4(v_{0} - v_{1} \cos \delta )^{2} = v_{2}^{2} \cos^{2} \phi, 4v_{1}^{2} \sin^{2} \delta = v_{2}^{2} \sin^{2} \phi$,
откуда
$4 v_{1}^{2} \sin^{2} \delta + 4v_{0}^{2} - 8v_{0}v_{1} \cos \delta + 2v_{1}^{2} \cos^{2} \delta = v_{2}^{2}$,
или
$4v_{1}^{2} + 4v_{0}^{2} - 8v_{0}v_{1} \cos \delta = v_{2}^{2}$.
Теперь применим закон сохранения энергии:
$\frac{m_{1}v_{0}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2}$, или $2v_{0}^{2} = 2v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$.
Отсюда и из последнего выражения закона сохранения импульса после упрощения получим
$3v_{1}^{2} - 4v_{0}v_{1} \cos \delta + v_{0}^{2} = 0$,
откуда найдем
$\cos \delta = \frac{3v_{1}^{2} + v_{0}^{2} }{4v_{0}v_{1} } = \frac{1}{4} \left ( \frac{3v_{1} }{v_{0} } + \frac{v_{0} }{v_{1} } \right )$.
Применим неравенство Коши:
$\cos \delta = \frac{1}{4} \left ( \frac{3v_{1} }{v_{0} } + \frac{v_{0} }{v_{1} } \right ) \geq \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3v_{1} }{v_{0} } \frac{v_{0} }{v_{1} } } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$.
Так как функция $\cos \delta$ на промежутке $[0; \pi ]$ убывающая, для максимального угла рассеяния получим
$\delta = \delta_{max} = \frac{ \pi}{6}$.
Каков максимальным угол $\theta$ упругого рассеяния $\alpha$ - частицы на дейтроне? Дейтрон - ядро изотопа водорода дейтерия, состоит из протона и нейтрона, $\alpha$ - частица - ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в два раза меньше массы $\alpha$ - частицы.
Решение:
Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ - массы $\alpha$ - частицы и дейтрона соответственно, $v_{0}$ и $v_{1}$ - скорости $\alpha$ - частицы до и после столкновения, $v_{2}$ - скорость дейтрона после столкновения, $\delta$ и $\phi$ - углы отклонения $\alpha$ - частицы и дейтрона от направления движения $\alpha$ - частицы до столкновения (рис.). Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:
$m_{1}v_{0} = m_{1}v_{1} \cos \delta + m_{2}v_{2} \cos \phi, m_{1}v_{1} \sin \delta = m_{2}v_{2} \sin \phi$,
или, поскольку $m_{1} = 2m_{2}$,
$2v_{0} = 2v_{1} \cos \delta + v_{2} \cos \phi, 2v_{1} \sin \delta = v_{2} \sin \phi$.
Избавимся от угла $\phi$. Для этого из первого равенства выразим $v_{2} \cos \phi$ и возведем в квадрат, после чего сложим с квадратом второго равенства:
$4(v_{0} - v_{1} \cos \delta )^{2} = v_{2}^{2} \cos^{2} \phi, 4v_{1}^{2} \sin^{2} \delta = v_{2}^{2} \sin^{2} \phi$,
откуда
$4 v_{1}^{2} \sin^{2} \delta + 4v_{0}^{2} - 8v_{0}v_{1} \cos \delta + 2v_{1}^{2} \cos^{2} \delta = v_{2}^{2}$,
или
$4v_{1}^{2} + 4v_{0}^{2} - 8v_{0}v_{1} \cos \delta = v_{2}^{2}$.
Теперь применим закон сохранения энергии:
$\frac{m_{1}v_{0}^{2}}{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2}$, или $2v_{0}^{2} = 2v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$.
Отсюда и из последнего выражения закона сохранения импульса после упрощения получим
$3v_{1}^{2} - 4v_{0}v_{1} \cos \delta + v_{0}^{2} = 0$,
откуда найдем
$\cos \delta = \frac{3v_{1}^{2} + v_{0}^{2} }{4v_{0}v_{1} } = \frac{1}{4} \left ( \frac{3v_{1} }{v_{0} } + \frac{v_{0} }{v_{1} } \right )$.
Применим неравенство Коши:
$\cos \delta = \frac{1}{4} \left ( \frac{3v_{1} }{v_{0} } + \frac{v_{0} }{v_{1} } \right ) \geq \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3v_{1} }{v_{0} } \frac{v_{0} }{v_{1} } } = \frac{ \sqrt{3} }{2}$.
Так как функция $\cos \delta$ на промежутке $[0; \pi ]$ убывающая, для максимального угла рассеяния получим
$\delta = \delta_{max} = \frac{ \pi}{6}$.
