Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13742
2020-03-16 
Пассажирский поезд длиной $l$ стоял на первом пути. В последнем вагоне сидел Дядя Федор (герой книги Э. Успенского "Каникулы в Простоквашино") и ожидал письмо, которое ему должен был передать Шарик от кота Матроскина. В тот момент, когда поезд тронулся, на привокзальной площади как раз напротив первого вагона появился Шарик (рис.). Он определил, что расстояние до последнего вагона равно $L$. С какой минимальной скоростью $v_{0}$ должен бежать пес, чтобы передать письмо, если поезд движется с постоянным ускорением $a$?
Решение:
Пусть встреча Шарика с последним вагоном произошла в точке D (рис.).Треугольники АВС и ABD - прямоугольные. Тогда, используя теорему Пифагора, можно записать
$AB^{2} = AC^{2} - CB^{2} = AD^{2} - DB^{2}$,
или
$L^{2} - l^{2} = v_{0}^{2}t^{2} - \left ( \frac{at^{2} }{2} - l \right )^{2}$.
Отсюда выразим квадрат начальной скорости:
$v_{0}^{2} = \frac{L^{2} }{t^{2} } + \frac{a^{2}t^{2} }{4} - al$.
Для того чтобы скорость $v_{0}$ была минимальной, необходимо, чтобы сумма $\frac{L^{2} }{t^{2} } + \frac{a^{2}t^{2} }{4}$ принимала минимальное значение. Используем неравенство Коши:
$\frac{L^{2} }{t^{2} } + \frac{a^{2}t^{2} }{4} \geq 2 \sqrt{ \frac{L^{2} }{t^{2} } \frac{a^{2}t^{2} }{4} } = La$
и получаем
$v_{0} = \sqrt{a(L - l)}$/
Обратим внимание на то, что минимальная скорость достигается при условии
$\frac{L^{2}}{t^{2} } = \frac{a^{2}t^{2} }{4}$, или $L = \frac{at^{2} }{2}$.
Значит, $DC = CA = L$, т.е. треугольник ACD - равнобедренный, и
$tg \alpha = \frac{BD}{AB} = \frac{L-l}{ \sqrt{L^{2} - l^{2} }}$.
Получили, что Шарику следует бежать под углом $\alpha = arctg \frac{L-l}{ \sqrt{L^{2} - l^{2} } }$ к AB со скоростью $v_{0} = \sqrt{a(L-l)}$.
Пассажирский поезд длиной $l$ стоял на первом пути. В последнем вагоне сидел Дядя Федор (герой книги Э. Успенского "Каникулы в Простоквашино") и ожидал письмо, которое ему должен был передать Шарик от кота Матроскина. В тот момент, когда поезд тронулся, на привокзальной площади как раз напротив первого вагона появился Шарик (рис.). Он определил, что расстояние до последнего вагона равно $L$. С какой минимальной скоростью $v_{0}$ должен бежать пес, чтобы передать письмо, если поезд движется с постоянным ускорением $a$?
Решение:
Пусть встреча Шарика с последним вагоном произошла в точке D (рис.).Треугольники АВС и ABD - прямоугольные. Тогда, используя теорему Пифагора, можно записать
$AB^{2} = AC^{2} - CB^{2} = AD^{2} - DB^{2}$,
или
$L^{2} - l^{2} = v_{0}^{2}t^{2} - \left ( \frac{at^{2} }{2} - l \right )^{2}$.
Отсюда выразим квадрат начальной скорости:
$v_{0}^{2} = \frac{L^{2} }{t^{2} } + \frac{a^{2}t^{2} }{4} - al$.
Для того чтобы скорость $v_{0}$ была минимальной, необходимо, чтобы сумма $\frac{L^{2} }{t^{2} } + \frac{a^{2}t^{2} }{4}$ принимала минимальное значение. Используем неравенство Коши:
$\frac{L^{2} }{t^{2} } + \frac{a^{2}t^{2} }{4} \geq 2 \sqrt{ \frac{L^{2} }{t^{2} } \frac{a^{2}t^{2} }{4} } = La$
и получаем
$v_{0} = \sqrt{a(L - l)}$/
Обратим внимание на то, что минимальная скорость достигается при условии
$\frac{L^{2}}{t^{2} } = \frac{a^{2}t^{2} }{4}$, или $L = \frac{at^{2} }{2}$.
Значит, $DC = CA = L$, т.е. треугольник ACD - равнобедренный, и
$tg \alpha = \frac{BD}{AB} = \frac{L-l}{ \sqrt{L^{2} - l^{2} }}$.
Получили, что Шарику следует бежать под углом $\alpha = arctg \frac{L-l}{ \sqrt{L^{2} - l^{2} } }$ к AB со скоростью $v_{0} = \sqrt{a(L-l)}$.
