Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13741
2020-03-16 
Даны $n$ гальванических элементов (рис.) с электродвижущей силой каждого $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Все элементы соединены в $k$ групп по $\frac{n}{k}$ элементов в группе, причем в каждой группе элементы соединены параллельно, а группы между собой - последовательно. Чему должно быть равно $k$, чтобы получить максимальную силу тока во внешнем сопротивлении $R$?
Решение:
Зная, что при параллельном соединении одинаковых элементов электродвижущая сила не изменяется, а внутреннее сопротивление уменьшается пропорционально числу элементов, найдем, что каждую группу можно заменить одним элементом с электродвижущей силой $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\frac{kr}{n}$. Далее, приняв во внимание, что при последовательном соединении электродвижущая сила и внутреннее сопротивление возрастают пропорционально числу элементов, получим, что в цепи электродвижущая сила будет $k \mathcal{E}$, а внутреннее сопротивление $\frac{k^{2}r}{n}$. Согласно закону Ома для полной цепи, ток в цепи равен
$I = \frac{k \mathcal{E} }{ \frac{k^{2}r }{n} + R } = \frac{ \mathcal{E}nk }{rk^{2} + nR }$.
Очевидно, что наибольшая сила тока будет при таком значении $k$, при котором дробь $\frac{1}{kr + \frac{nR}{k}}$ принимает наибольшее значение, а для этого знаменатель дроби должен быть минимальным. Исходя из неравенства Коши, должно выполняться равенство
$kr = \frac{nR}{k}$, откуда $k = \sqrt{ \frac{nR}{r} }$.
При этом
$I_{max} = \frac{n \mathcal{E} }{ 2 \sqrt{rnR} } = \frac{ \mathcal{E} }{2} \sqrt{ \frac{n}{rR} }$.
Интересно, а чему равно в этом случае внутреннее сопротивление батареи? Оно, как мы видели, есть
$r_{бат} = \frac{rk^{2} }{n} = r \frac{nR}{nr} = R$.
Таким образом, мы приходим к следующему важному выводу: ток батареи оказывается максимальным тогда, когда ее внутреннее сопротивление равно внешнему.
Даны $n$ гальванических элементов (рис.) с электродвижущей силой каждого $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$. Все элементы соединены в $k$ групп по $\frac{n}{k}$ элементов в группе, причем в каждой группе элементы соединены параллельно, а группы между собой - последовательно. Чему должно быть равно $k$, чтобы получить максимальную силу тока во внешнем сопротивлении $R$?
Решение:
Зная, что при параллельном соединении одинаковых элементов электродвижущая сила не изменяется, а внутреннее сопротивление уменьшается пропорционально числу элементов, найдем, что каждую группу можно заменить одним элементом с электродвижущей силой $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\frac{kr}{n}$. Далее, приняв во внимание, что при последовательном соединении электродвижущая сила и внутреннее сопротивление возрастают пропорционально числу элементов, получим, что в цепи электродвижущая сила будет $k \mathcal{E}$, а внутреннее сопротивление $\frac{k^{2}r}{n}$. Согласно закону Ома для полной цепи, ток в цепи равен
$I = \frac{k \mathcal{E} }{ \frac{k^{2}r }{n} + R } = \frac{ \mathcal{E}nk }{rk^{2} + nR }$.
Очевидно, что наибольшая сила тока будет при таком значении $k$, при котором дробь $\frac{1}{kr + \frac{nR}{k}}$ принимает наибольшее значение, а для этого знаменатель дроби должен быть минимальным. Исходя из неравенства Коши, должно выполняться равенство
$kr = \frac{nR}{k}$, откуда $k = \sqrt{ \frac{nR}{r} }$.
При этом
$I_{max} = \frac{n \mathcal{E} }{ 2 \sqrt{rnR} } = \frac{ \mathcal{E} }{2} \sqrt{ \frac{n}{rR} }$.
Интересно, а чему равно в этом случае внутреннее сопротивление батареи? Оно, как мы видели, есть
$r_{бат} = \frac{rk^{2} }{n} = r \frac{nR}{nr} = R$.
Таким образом, мы приходим к следующему важному выводу: ток батареи оказывается максимальным тогда, когда ее внутреннее сопротивление равно внешнему.
