Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13731
2020-03-16 
Дорога, ведущая через холм, имеет вид наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$, плавно переходящей в дугу окружности радиусом $R$ (рис.). Известно, что на самой вершине холма имеется опасная выбоина. С какой минимальной скоростью должен ехать автомобиль, чтобы преодолеть холм не коснувшись его вершины?
Решение:
Первый подход к решению задачи обычно состоит в том, чтобы найти такую скорость $v_{1}$, при которой автомобиль проходит всю дугу, отрываясь от полотна дороги только в одной верхней точке А. Для этого записывают второй закон Ньютона для верхней точки в проекции на вертикальную ось АО, проходящую через центр окружности:
$mg = \frac{mv_{1}^{2}}{R}$, т.е. $v_{1} = \sqrt{gR}$. (1)
Однако, как хорошо видно из уравнения $N = mg \cos \alpha - \frac{mv^{2} }{R}$, сила нормальной реакции в верхней точке минимальна. Тогда при скорости $v_{1}$, при которой сила $N$ в верхней точке равна нулю, в остальных точках дуги (где $\alpha \neq 0$) сила отрицательна! Это значит, что автомобиль оторвется от дороги не в верхней точке, а в точке B - сразу же после того, как переедет с наклонной плоскости на криволинейный участок дороги.
Выясним, при какой минимальной скорости $v_{2}$ автомобиль в точке B оторвется от дороги (т.е. $N$ обратится в ноль). Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось BO:
$mg \cos \alpha = \frac{mv_{2}^{2} }{R}$, т.е. $v_{2} = \sqrt{gR \cos \alpha}$. (2)
Но при этой скорости автомобиль потеряет контакт с дорогой только в одной точке B, после чего проедет всю дугу с $N > 0$ ($N$ возрастает при приближении к верхней точке).
Следовательно, надо найти такую скорость $v_{3} > v_{2}$, при которой автомобиль, оторвавшись от дороги в точке B, свободно полетит под углом $\alpha$ к горизонту и приземлится в точке A (см. рис.) - точнее, чуть правее этой точки, чтобы не попасть в выбоину. Запишем уравнения кинематики:
$R \sin \alpha = (v_{3} \cos \alpha ) t$,
$R (1 - \cos \alpha ) = (v_{3} \sin \alpha )t - \frac{gt^{2} }{2}$.
После преобразований получим
$v_{3} = \sqrt{gR \frac{1 + \cos \alpha}{2 \cos \alpha}}$.
Отметим, что эта скорость больше $v_{1}$.
Дорога, ведущая через холм, имеет вид наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$, плавно переходящей в дугу окружности радиусом $R$ (рис.). Известно, что на самой вершине холма имеется опасная выбоина. С какой минимальной скоростью должен ехать автомобиль, чтобы преодолеть холм не коснувшись его вершины?
Решение:
Первый подход к решению задачи обычно состоит в том, чтобы найти такую скорость $v_{1}$, при которой автомобиль проходит всю дугу, отрываясь от полотна дороги только в одной верхней точке А. Для этого записывают второй закон Ньютона для верхней точки в проекции на вертикальную ось АО, проходящую через центр окружности:
$mg = \frac{mv_{1}^{2}}{R}$, т.е. $v_{1} = \sqrt{gR}$. (1)
Однако, как хорошо видно из уравнения $N = mg \cos \alpha - \frac{mv^{2} }{R}$, сила нормальной реакции в верхней точке минимальна. Тогда при скорости $v_{1}$, при которой сила $N$ в верхней точке равна нулю, в остальных точках дуги (где $\alpha \neq 0$) сила отрицательна! Это значит, что автомобиль оторвется от дороги не в верхней точке, а в точке B - сразу же после того, как переедет с наклонной плоскости на криволинейный участок дороги.
Выясним, при какой минимальной скорости $v_{2}$ автомобиль в точке B оторвется от дороги (т.е. $N$ обратится в ноль). Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось BO:
$mg \cos \alpha = \frac{mv_{2}^{2} }{R}$, т.е. $v_{2} = \sqrt{gR \cos \alpha}$. (2)
Но при этой скорости автомобиль потеряет контакт с дорогой только в одной точке B, после чего проедет всю дугу с $N > 0$ ($N$ возрастает при приближении к верхней точке).
Следовательно, надо найти такую скорость $v_{3} > v_{2}$, при которой автомобиль, оторвавшись от дороги в точке B, свободно полетит под углом $\alpha$ к горизонту и приземлится в точке A (см. рис.) - точнее, чуть правее этой точки, чтобы не попасть в выбоину. Запишем уравнения кинематики:
$R \sin \alpha = (v_{3} \cos \alpha ) t$,
$R (1 - \cos \alpha ) = (v_{3} \sin \alpha )t - \frac{gt^{2} }{2}$.
После преобразований получим
$v_{3} = \sqrt{gR \frac{1 + \cos \alpha}{2 \cos \alpha}}$.
Отметим, что эта скорость больше $v_{1}$.
