Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13728
2020-03-12 
Определить скорость стационарного течения вдоль оси и расход несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами с внутренним радиусом $R_{1}$ внешним $R_{2}$ и длиной $l$. (Расходом жидкости называется масса ее, ежесекундно протекающая через поперечное сечение трубы.)
Решение:
Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним радиусом $r$ и внешним $r + dr$. Сила внутреннего трения, действующая на него в направлении течения, равна
$2 \pi l \eta \left [ \left ( r \frac{dv}{dr} \right )_{r + dr} - \left ( r \frac{dv}{dr} \right )_{r} \right ] = 2 \pi l \eta \frac{d}{dr} \left (r \frac{dv}{dr} \right ) dr$.
(Индексы $r$ и $r + dr$ обозначают, что величины, заключенные в круглые скобки, должны быть вычислены при значениях радиусов $r$ и $r + dr$ соответственно.) В том же направлении действует сила разности давлений $(P_{1} - P_{2})2 \pi r dr$. При стационарном течении сумма обеих сил обращается в нуль. Это приводит к уравнению
$\frac{d}{dr} \left ( r \frac{dv}{dr} \right ) = - \frac{P_{1} - P_{2}}{l \eta} r$.
Решение его, обращающееся в нуль при $r = R_{1}$ и $r = R_{2}$, есть
$v = \frac{P_{1} - P_{2} }{4l \eta} \left \{ R_{2}^{2} - r^{2} + \frac{R_{2}^{2} - R_{1}^{2} }{ ln \frac{R_{2} }{R_{1} } } ln \frac{r}{R_{2} } \right \}$.
Расход жидкости:
$Q = \frac{ \pi \rho (P_{1} - P_{2} ) }{8 \eta l} \left \{ R_{2}^{4} - R_{1}^{4} - \frac{(R_{2}^{2} - R_{1}^{2} )^{2} }{ln \frac{R_{2} }{R_{1} } } \right \}$.
Определить скорость стационарного течения вдоль оси и расход несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами с внутренним радиусом $R_{1}$ внешним $R_{2}$ и длиной $l$. (Расходом жидкости называется масса ее, ежесекундно протекающая через поперечное сечение трубы.)
Решение:
Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним радиусом $r$ и внешним $r + dr$. Сила внутреннего трения, действующая на него в направлении течения, равна
$2 \pi l \eta \left [ \left ( r \frac{dv}{dr} \right )_{r + dr} - \left ( r \frac{dv}{dr} \right )_{r} \right ] = 2 \pi l \eta \frac{d}{dr} \left (r \frac{dv}{dr} \right ) dr$.
(Индексы $r$ и $r + dr$ обозначают, что величины, заключенные в круглые скобки, должны быть вычислены при значениях радиусов $r$ и $r + dr$ соответственно.) В том же направлении действует сила разности давлений $(P_{1} - P_{2})2 \pi r dr$. При стационарном течении сумма обеих сил обращается в нуль. Это приводит к уравнению
$\frac{d}{dr} \left ( r \frac{dv}{dr} \right ) = - \frac{P_{1} - P_{2}}{l \eta} r$.
Решение его, обращающееся в нуль при $r = R_{1}$ и $r = R_{2}$, есть
$v = \frac{P_{1} - P_{2} }{4l \eta} \left \{ R_{2}^{2} - r^{2} + \frac{R_{2}^{2} - R_{1}^{2} }{ ln \frac{R_{2} }{R_{1} } } ln \frac{r}{R_{2} } \right \}$.
Расход жидкости:
$Q = \frac{ \pi \rho (P_{1} - P_{2} ) }{8 \eta l} \left \{ R_{2}^{4} - R_{1}^{4} - \frac{(R_{2}^{2} - R_{1}^{2} )^{2} }{ln \frac{R_{2} }{R_{1} } } \right \}$.
