Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13727
2020-03-12 
Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вращением, считая Землю однородным несжимаемым жидким шаром.
Решение:
Так как фигура Земли мало отличается от шаровой, то ускорение свободного падения внутри земного шара можно считать направленным к центру Земли и пропорциональным расстоянию до ее центра. В этом приближении с учетом центробежной силы уравнения гидростатики принимают вид
$\frac{ \partial P}{ \partial x} = - \rho g \frac{x}{R_{0} } + \rho \omega^{2}x, \frac{ \partial P}{ \partial y} = - \rho g \frac{y}{R_{0} } + \rho \omega^{2}y, \frac{ \partial P}{ \partial z} = - \rho g \frac{z}{R_{0} }$,
где $R_{0}$ - радиус Земли, $\omega$ - угловая скорость се вращения. Начало координат мы поместили в центре Земли, а ось Z направили вдоль оси ее вращения. Интегрируя эти уравнения, получим
$P = \frac{ \rho }{2} \left ( \omega^{2} - \frac{g}{R_{0} } \right ) (x^{2} + y^{2}) - \frac{ \rho g}{2R_{0} } z^{2} + C$,
где $C$ - постоянная интегрирования, определяющаяся значением давления $P$ на земной поверхности (его можно считать равным нулю, так как атмосферное давление пренебрежимо мало). Сплюснутость Земли определится из требования постоянства давления на земной поверхности. Выбрав сначала точку на экваторе, а затем на полюсе, пишем $P(R_{э}, 0, 0)= P(0, 0, R_{п})$, где $R_{э}$ и $R_{п}$ - экваториальный н полярный радиусы Земли. С учетом явного вида давления отсюда получаем
$\left ( \omega^{2} - \frac{g}{R_{0}} \right ) = - \frac{g}{R_{0} } R_{п}^{2}$ и далее
$R_{э} - R_{п} = \frac{ \omega^{2}}{g} \frac{R_{э}^{2}R_{0}}{R_{э} + R_{п} } \approx \frac{ \omega^{2}R_{0}^{2} }{2g}$.
Следовательно, для сплюснутости $\epsilon$ земного шара получается
$\epsilon = \frac{R_{э} - R_{п}}{R_{0} } = \frac{ \omega^{2}R_{0}}{2g} \approx \frac{1}{580}$.
Действительное сжатие Земли заметно больше, а именно 1/297. Расхождение объясняется грубостью модели, положенной в основу рас-суждений, а также несовершенством метода расчета. При строгой постановке задачи надо учитывать, что поле тяготения сплюснутого шара не является центральным (С учетом этого обстоятельства расчет дает $\epsilon = \frac{5}{4} \frac{ \omega^{2} R_{0}}{g} \approx \frac{1}{232}$.). Тем самым задача сильно усложняется, так как само гравитационное поле заранее неизвестно, а зависит от неизвестной формы поверхности Земли. Подробное исследование показывает, что задача, сформулированная таким образом, не имеет однозначного решения. Возможно несколько различных форм равновесной поверхности, в том числе и эллипсоид вращения с определенной степенью сжатия.
Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вращением, считая Землю однородным несжимаемым жидким шаром.
Решение:
Так как фигура Земли мало отличается от шаровой, то ускорение свободного падения внутри земного шара можно считать направленным к центру Земли и пропорциональным расстоянию до ее центра. В этом приближении с учетом центробежной силы уравнения гидростатики принимают вид
$\frac{ \partial P}{ \partial x} = - \rho g \frac{x}{R_{0} } + \rho \omega^{2}x, \frac{ \partial P}{ \partial y} = - \rho g \frac{y}{R_{0} } + \rho \omega^{2}y, \frac{ \partial P}{ \partial z} = - \rho g \frac{z}{R_{0} }$,
где $R_{0}$ - радиус Земли, $\omega$ - угловая скорость се вращения. Начало координат мы поместили в центре Земли, а ось Z направили вдоль оси ее вращения. Интегрируя эти уравнения, получим
$P = \frac{ \rho }{2} \left ( \omega^{2} - \frac{g}{R_{0} } \right ) (x^{2} + y^{2}) - \frac{ \rho g}{2R_{0} } z^{2} + C$,
где $C$ - постоянная интегрирования, определяющаяся значением давления $P$ на земной поверхности (его можно считать равным нулю, так как атмосферное давление пренебрежимо мало). Сплюснутость Земли определится из требования постоянства давления на земной поверхности. Выбрав сначала точку на экваторе, а затем на полюсе, пишем $P(R_{э}, 0, 0)= P(0, 0, R_{п})$, где $R_{э}$ и $R_{п}$ - экваториальный н полярный радиусы Земли. С учетом явного вида давления отсюда получаем
$\left ( \omega^{2} - \frac{g}{R_{0}} \right ) = - \frac{g}{R_{0} } R_{п}^{2}$ и далее
$R_{э} - R_{п} = \frac{ \omega^{2}}{g} \frac{R_{э}^{2}R_{0}}{R_{э} + R_{п} } \approx \frac{ \omega^{2}R_{0}^{2} }{2g}$.
Следовательно, для сплюснутости $\epsilon$ земного шара получается
$\epsilon = \frac{R_{э} - R_{п}}{R_{0} } = \frac{ \omega^{2}R_{0}}{2g} \approx \frac{1}{580}$.
Действительное сжатие Земли заметно больше, а именно 1/297. Расхождение объясняется грубостью модели, положенной в основу рас-суждений, а также несовершенством метода расчета. При строгой постановке задачи надо учитывать, что поле тяготения сплюснутого шара не является центральным (С учетом этого обстоятельства расчет дает $\epsilon = \frac{5}{4} \frac{ \omega^{2} R_{0}}{g} \approx \frac{1}{232}$.). Тем самым задача сильно усложняется, так как само гравитационное поле заранее неизвестно, а зависит от неизвестной формы поверхности Земли. Подробное исследование показывает, что задача, сформулированная таким образом, не имеет однозначного решения. Возможно несколько различных форм равновесной поверхности, в том числе и эллипсоид вращения с определенной степенью сжатия.
