Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13725
2020-03-12 
В сплошном однородном цилиндре радиуса $R$ сделана цилиндрическая полость радиуса $R/2$ с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра (см. рис.). Определить период малых колебаний $T$, которые возникнут, если положить цилиндр на горизонатальную плоскость и дать ему возможность кататься по ней без скольжения.
Решение:
Задача сводится к нахождению выражений для потенциальной и кинетической энергий системы. С этой целью мысленно заполним полость тем же веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавшийся таким образом сплошной однородный цилиндр назовем цилиндром 1, а цилиндр вдвое меиынего радиуса, заполняющий полость,- цилиндром 2. Массы цилиндров обозначим соответственно $m_{1}$ и $m_{2}$. Энергия системы, как потенциальная, так и кинетическая, будет равна разности энергий цилиндров 1 и 2. При повороте системы из положения равновесия на угол $\phi$ (рис.) центр масс цилиндра 1 остается на прежней высоте, его потенциальная энергия $U_{1}$ не изменяется. Потенциальная же энергия цилиндра 2 становится равной $U_{2} = m_{2}gh_{2}$, где $h_{2} = R + \frac{R}{2} \cos \phi$ - высота центра масс этого цилиндра над горизонтальной плоскостью, на которой находится система. Полная потенциальная энергия всей системы
$U = U_{1} - U_{2} = const - m_{2}gR \left ( 1 + \frac{1}{2} \cos \phi \right )$.
Единственное переменное слагаемое, которое она содержит, есть $- \frac{1}{2} m_{2}gR \cos \phi$. Поэтому при надлежащем выборе аддитивной постоянной величину $U$ всегда можно представить в виде
$U = const + \frac{1}{2} m_{2}gR (1 - \cos \phi ) = const + m_{2}gR sin^{2} \frac{ \phi}{2}$,
или для малых углов $\phi$ $U \approx const + \frac{1}{4} m_{2}gR \phi^{2}$. Кинетическая энергия системы $K = \frac{1}{2}(l_{1} - l_{2}) \dot{ \phi}^{2}$, где $I_{1}$ и $I_{2}$ - моменты инерции цилиндров относительно мгновенной оси. При изменении угла $\phi$ величины $I_{1}$ и $I_{2}$ изменяются. Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести $I_{1}$ и $I_{2}$ к тому моменту, когда система находится в положении равновесия. В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса - Штейнера нетрудно получить $I_{1} = \frac{3}{2} m_{1}R^{2}, I_{2} = \frac{19}{8} m_{2}R^{2}$. Приняв еще во внимание, что $m_{1} = 4m_{2}$, найдем $K = \frac{29}{16} m_{2}R^{2} \dot{ \phi}^{2}$. На основании полученных выражений для $U$ и $K$ заключаем, что малые колебания системы будут Гармоническими с периодом $T = \pi \sqrt{ \frac{29R}{g}}$.
В сплошном однородном цилиндре радиуса $R$ сделана цилиндрическая полость радиуса $R/2$ с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра (см. рис.). Определить период малых колебаний $T$, которые возникнут, если положить цилиндр на горизонатальную плоскость и дать ему возможность кататься по ней без скольжения.
Решение:
Задача сводится к нахождению выражений для потенциальной и кинетической энергий системы. С этой целью мысленно заполним полость тем же веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавшийся таким образом сплошной однородный цилиндр назовем цилиндром 1, а цилиндр вдвое меиынего радиуса, заполняющий полость,- цилиндром 2. Массы цилиндров обозначим соответственно $m_{1}$ и $m_{2}$. Энергия системы, как потенциальная, так и кинетическая, будет равна разности энергий цилиндров 1 и 2. При повороте системы из положения равновесия на угол $\phi$ (рис.) центр масс цилиндра 1 остается на прежней высоте, его потенциальная энергия $U_{1}$ не изменяется. Потенциальная же энергия цилиндра 2 становится равной $U_{2} = m_{2}gh_{2}$, где $h_{2} = R + \frac{R}{2} \cos \phi$ - высота центра масс этого цилиндра над горизонтальной плоскостью, на которой находится система. Полная потенциальная энергия всей системы
$U = U_{1} - U_{2} = const - m_{2}gR \left ( 1 + \frac{1}{2} \cos \phi \right )$.
Единственное переменное слагаемое, которое она содержит, есть $- \frac{1}{2} m_{2}gR \cos \phi$. Поэтому при надлежащем выборе аддитивной постоянной величину $U$ всегда можно представить в виде
$U = const + \frac{1}{2} m_{2}gR (1 - \cos \phi ) = const + m_{2}gR sin^{2} \frac{ \phi}{2}$,
или для малых углов $\phi$ $U \approx const + \frac{1}{4} m_{2}gR \phi^{2}$. Кинетическая энергия системы $K = \frac{1}{2}(l_{1} - l_{2}) \dot{ \phi}^{2}$, где $I_{1}$ и $I_{2}$ - моменты инерции цилиндров относительно мгновенной оси. При изменении угла $\phi$ величины $I_{1}$ и $I_{2}$ изменяются. Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести $I_{1}$ и $I_{2}$ к тому моменту, когда система находится в положении равновесия. В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса - Штейнера нетрудно получить $I_{1} = \frac{3}{2} m_{1}R^{2}, I_{2} = \frac{19}{8} m_{2}R^{2}$. Приняв еще во внимание, что $m_{1} = 4m_{2}$, найдем $K = \frac{29}{16} m_{2}R^{2} \dot{ \phi}^{2}$. На основании полученных выражений для $U$ и $K$ заключаем, что малые колебания системы будут Гармоническими с периодом $T = \pi \sqrt{ \frac{29R}{g}}$.
