Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13724
2020-03-12 
Тело вращения радиуса $a$ с моментом инерции $I$ (относительно геометрической оси) и массой $m$ катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиуса $R$, совершая малые колебания около положения равновесия (рис.). Найти период этих колебаний.
Решение:
Рассматривая движение тела как вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью $\omega$, напишем для скорости его центра $v = \omega a$. Ту же скорость можно представить в виде $v = (R - a) \dot{ \phi}$. Приравнивая оба выражения, находим $\omega = \frac{R - a}{a} \dot{ \phi}$. Кинетическая энергия по теореме Кёнига
$K = \frac{1}{2} \omega^{2} + \frac{m}{2} (R-a)^{2} \dot{ \phi}^{2} = \frac{1}{2} \left ( m + \frac{I}{a^{2} } \right )(R - a)^{2} \dot{ \phi}^{2}$.
Потенциальная же энергия
$U = mg (R - a) (1 - \cos \phi ) \approx \frac{mg}{2} (R - a) \phi^{2}$.
Применяя общий метод, находим
$T = 2 \pi \sqrt{ \left ( 1 + \frac{I}{ma^{2} } \right ) \frac{R - a}{g} }$.
В частности, для сплошного цилиндра и сплошного шара
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{3}{2} \frac{R - a}{g} }, T = 2 \pi \sqrt{ \frac{7}{5} \frac{R - a}{g} }$.
Тело вращения радиуса $a$ с моментом инерции $I$ (относительно геометрической оси) и массой $m$ катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиуса $R$, совершая малые колебания около положения равновесия (рис.). Найти период этих колебаний.
Решение:
Рассматривая движение тела как вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью $\omega$, напишем для скорости его центра $v = \omega a$. Ту же скорость можно представить в виде $v = (R - a) \dot{ \phi}$. Приравнивая оба выражения, находим $\omega = \frac{R - a}{a} \dot{ \phi}$. Кинетическая энергия по теореме Кёнига
$K = \frac{1}{2} \omega^{2} + \frac{m}{2} (R-a)^{2} \dot{ \phi}^{2} = \frac{1}{2} \left ( m + \frac{I}{a^{2} } \right )(R - a)^{2} \dot{ \phi}^{2}$.
Потенциальная же энергия
$U = mg (R - a) (1 - \cos \phi ) \approx \frac{mg}{2} (R - a) \phi^{2}$.
Применяя общий метод, находим
$T = 2 \pi \sqrt{ \left ( 1 + \frac{I}{ma^{2} } \right ) \frac{R - a}{g} }$.
В частности, для сплошного цилиндра и сплошного шара
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{3}{2} \frac{R - a}{g} }, T = 2 \pi \sqrt{ \frac{7}{5} \frac{R - a}{g} }$.
