Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13723
2020-03-12 
Стержень круглого сечения расположен вертикально и закреплен верхним концом. К нижнему концу прикреплен горизонтально блок радиуса $R = 50 мм$. Ось стержня проходит через центр блока. От концов диаметра блока идут по касательной две нити, на которые действуют равные силы $P = 5 кгс$, закручивающие блок в одном направлении. На какой угол $\phi$ закрутится стержень? Модуль сдвига материала стержня $N = 8000 кгс/мм^{2}$, радиус стержня $r = 5 мм$, длина его $l = 1 м$.
Решение:
Считаем, что при закручивании поперечное сечение стержня, находящееся на расстоянии $dl$ от другого сечения, поворачивается на угол $d \phi$ относительно него. Кольцо, вырезанное между этими сечениями, имеющее радиус $\rho$ и толщину $d \rho$, сдвинется на угол (рис.) $d \alpha = \rho \frac{d \phi}{dl}$. Касательное напряжение в сечении на расстоянии $\rho$ от оси будет $\tau = \frac{N \rho d \phi}{dl}$. Момент сил, действующих на поверхность кольца радиуса $\rho$ и толщины $d \rho$,
$dM = 2 \pi \rho d \rho \tau \rho = 2 \pi N \frac{d \phi }{dl} \rho^{3} d \rho$.
Момент сил в сечении
$M = 2 \pi N \frac{d \phi}{dl} \int_{0}^{r} \rho^{3} d \rho = \pi N \frac{d \phi}{dl} \frac{r^{4} }{2}$,
где $r$ - радиус стержня. Момент $M$ равен моменту внешних сил; отсюда $M = 2PR$. Подставляя это в предыдущее выражение, получаем $\frac{d \phi}{dl} = \frac{4PR}{ \pi N r^{4} }$, следовательно, $\phi = \frac{4PRl}{ \pi N r^{4} }, \phi = \frac{1}{5 \pi} \approx 3,6^{ \circ}$.
Стержень круглого сечения расположен вертикально и закреплен верхним концом. К нижнему концу прикреплен горизонтально блок радиуса $R = 50 мм$. Ось стержня проходит через центр блока. От концов диаметра блока идут по касательной две нити, на которые действуют равные силы $P = 5 кгс$, закручивающие блок в одном направлении. На какой угол $\phi$ закрутится стержень? Модуль сдвига материала стержня $N = 8000 кгс/мм^{2}$, радиус стержня $r = 5 мм$, длина его $l = 1 м$.
Решение:
Считаем, что при закручивании поперечное сечение стержня, находящееся на расстоянии $dl$ от другого сечения, поворачивается на угол $d \phi$ относительно него. Кольцо, вырезанное между этими сечениями, имеющее радиус $\rho$ и толщину $d \rho$, сдвинется на угол (рис.) $d \alpha = \rho \frac{d \phi}{dl}$. Касательное напряжение в сечении на расстоянии $\rho$ от оси будет $\tau = \frac{N \rho d \phi}{dl}$. Момент сил, действующих на поверхность кольца радиуса $\rho$ и толщины $d \rho$,
$dM = 2 \pi \rho d \rho \tau \rho = 2 \pi N \frac{d \phi }{dl} \rho^{3} d \rho$.
Момент сил в сечении
$M = 2 \pi N \frac{d \phi}{dl} \int_{0}^{r} \rho^{3} d \rho = \pi N \frac{d \phi}{dl} \frac{r^{4} }{2}$,
где $r$ - радиус стержня. Момент $M$ равен моменту внешних сил; отсюда $M = 2PR$. Подставляя это в предыдущее выражение, получаем $\frac{d \phi}{dl} = \frac{4PR}{ \pi N r^{4} }$, следовательно, $\phi = \frac{4PRl}{ \pi N r^{4} }, \phi = \frac{1}{5 \pi} \approx 3,6^{ \circ}$.
