Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13722
2020-03-12 
Подсчитать гравитационную энергию $U$ шара радиуса $R$, равномерно заполненного веществом с объемной плотностью $\rho$.
Решение:
Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом. Разделим мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять в бесконечность каждый из таких слоев, начиная с самого крайнего. Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Если $m$ - масса этого вещества, a $dm$ - масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление слоя в бесконечность, равна $dA = \frac{Gmdm}{r}$. Но для однородного шара $m = M \left ( \frac{r}{R} \right )^{3}$, где $M$ - масса всего шара. Поэтому
$dA = 3G \frac{M^{2} }{R^{6} } r^{4} dr$. Учитывая, что $dA = -dU$ и интегрируя, получим
$U = - 3 \frac{GM^{2} }{R^{6} } \int_{0}^{R} r^{4}dr = - \frac{3}{5} \frac{GM^{2} }{R}$.
За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно разрозненном состоянии.
Подсчитать гравитационную энергию $U$ шара радиуса $R$, равномерно заполненного веществом с объемной плотностью $\rho$.
Решение:
Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом. Разделим мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять в бесконечность каждый из таких слоев, начиная с самого крайнего. Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Если $m$ - масса этого вещества, a $dm$ - масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление слоя в бесконечность, равна $dA = \frac{Gmdm}{r}$. Но для однородного шара $m = M \left ( \frac{r}{R} \right )^{3}$, где $M$ - масса всего шара. Поэтому
$dA = 3G \frac{M^{2} }{R^{6} } r^{4} dr$. Учитывая, что $dA = -dU$ и интегрируя, получим
$U = - 3 \frac{GM^{2} }{R^{6} } \int_{0}^{R} r^{4}dr = - \frac{3}{5} \frac{GM^{2} }{R}$.
За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно разрозненном состоянии.
