Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13721
2020-03-12 
Найти потенциальную энергию и силу гравитационного притяжения между однородной полой сферой массы $M$ и материальной точкой массы $m$.
Решение:
Соединим центр сферы О с точкой А, в которой помещена точечная масса $m$ (рис.). Из точки О, как из вершины, опишем два круговых конуса с общей осью ОА, образующие которых наклонены к этой оси под углами $\theta$ и $\theta + d \theta$. Они вырежут на поверхности сферы элементарный поясок с площадью $dS = 2 \pi r^{2} \sin \theta d \theta$, где $r$ - радиус сферы. Масса этого пояска $dM = M \frac{dS}{4 \pi r^{2} } = M \sin \theta d \theta$. Так как точки пояска равноудалены от точки A, то потенциальная энергия гравитационного взаимодействия пояска и точечной массы $m$ равна
$dU = - G \frac{Mm}{2} \sin \theta d \theta$.
Перейдем к новой переменной $\rho$ - расстоянию между точечной массой $m$ и какой-либо точкой пояска. Эта переменная связана с $\theta$ соотношением $\rho^{2} = R^{2} + r^{2} - 2Rr \cos \theta$, где $R$ - расстояние ОА между центром сферы и точечной массой $M$. При перемещении вдоль поверхности сферы величины $R$ и $r$ остаются постоянными, поэтому
$\rho d \rho = Rr \sin \theta d \theta$,
а, следовательно,
$dU = - G \frac{Mm}{2Rr} d \rho, U = - G \frac{Mm}{2Rr} \int_{ \rho_{min} }^{ \rho_{max} } d \rho$.
Если точка А лежит вне сферы (рис. а), то максимальное и минимальное значения $\rho$ равны соответственно $\rho_{max} = R + r$ и $\rho_{min} = R - r$. В этом случае интегрирование дает
$U = - \frac{GMm}{R}$. (1)
Потенциальная энергия такая же, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в одной точке, а именно в центре сферы. То же справедливо и для силы взаимодействия $F = - \frac{dU}{dR} = - \frac{GMm}{R^{2}}$. Можно сказать, что сфера притягивает материальную точку так, как если бы вся ее масса была сосредоточена в ее центре. Можно сказать и иначе: точечная масса притягивает сферу так, как если бы вся масса последней была сосредоточена в ее центре.
Если же точка А лежит внутри сферической полости (рис. б), то $\rho_{max} = r + R, \rho_{min} = r - R$, и интегрирование дает
$U = - \frac{GMm}{r}$. (2)
На границе полости выражения (1) и (2) совпадают. Согласно (2) потенциальная энергия материальной точки внутри полости не зависит от $R$, она постоянна. Сила $F$, действующая на материальную точку в этом случае, равна нулю, так как $U = const$, а потому $F = - \frac{dU}{dR} = 0$.
Найти потенциальную энергию и силу гравитационного притяжения между однородной полой сферой массы $M$ и материальной точкой массы $m$.
Решение:
Соединим центр сферы О с точкой А, в которой помещена точечная масса $m$ (рис.). Из точки О, как из вершины, опишем два круговых конуса с общей осью ОА, образующие которых наклонены к этой оси под углами $\theta$ и $\theta + d \theta$. Они вырежут на поверхности сферы элементарный поясок с площадью $dS = 2 \pi r^{2} \sin \theta d \theta$, где $r$ - радиус сферы. Масса этого пояска $dM = M \frac{dS}{4 \pi r^{2} } = M \sin \theta d \theta$. Так как точки пояска равноудалены от точки A, то потенциальная энергия гравитационного взаимодействия пояска и точечной массы $m$ равна
$dU = - G \frac{Mm}{2} \sin \theta d \theta$.
Перейдем к новой переменной $\rho$ - расстоянию между точечной массой $m$ и какой-либо точкой пояска. Эта переменная связана с $\theta$ соотношением $\rho^{2} = R^{2} + r^{2} - 2Rr \cos \theta$, где $R$ - расстояние ОА между центром сферы и точечной массой $M$. При перемещении вдоль поверхности сферы величины $R$ и $r$ остаются постоянными, поэтому
$\rho d \rho = Rr \sin \theta d \theta$,
а, следовательно,
$dU = - G \frac{Mm}{2Rr} d \rho, U = - G \frac{Mm}{2Rr} \int_{ \rho_{min} }^{ \rho_{max} } d \rho$.
Если точка А лежит вне сферы (рис. а), то максимальное и минимальное значения $\rho$ равны соответственно $\rho_{max} = R + r$ и $\rho_{min} = R - r$. В этом случае интегрирование дает
$U = - \frac{GMm}{R}$. (1)
Потенциальная энергия такая же, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в одной точке, а именно в центре сферы. То же справедливо и для силы взаимодействия $F = - \frac{dU}{dR} = - \frac{GMm}{R^{2}}$. Можно сказать, что сфера притягивает материальную точку так, как если бы вся ее масса была сосредоточена в ее центре. Можно сказать и иначе: точечная масса притягивает сферу так, как если бы вся масса последней была сосредоточена в ее центре.
Если же точка А лежит внутри сферической полости (рис. б), то $\rho_{max} = r + R, \rho_{min} = r - R$, и интегрирование дает
$U = - \frac{GMm}{r}$. (2)
На границе полости выражения (1) и (2) совпадают. Согласно (2) потенциальная энергия материальной точки внутри полости не зависит от $R$, она постоянна. Сила $F$, действующая на материальную точку в этом случае, равна нулю, так как $U = const$, а потому $F = - \frac{dU}{dR} = 0$.
