Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13719
2020-03-12 
Вычислить приближенно четвертую космическую скорость, т. е. минимальную скорость, которую надо сообщить ракете на поверхности Земли, чтобы ракета могла упасть в заданную точку Солнца. Средний угловой радиус Солнца $\alpha = 4,65 \cdot 10^{-3} рад$. Предполагается, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите со скоростью $V_{к} = 29,8 км/с$. Вычислить, в частности, значение четвертой космической скорости при дополнительном условии, чтобы ракета падала на Солнце радиально (т. е. чтобы продолжение ее прямолинейной траектории проходило через центр Солнца).
Решение:
Ракета на старте с Землей со скоростью $\vec{V}_{к}$. Чтобы ракета упала на Солнце, надо ее движение затормозить. Как и в предыдущей задаче, находим, что по выходе из поля земного тяготения ракета будет иметь скорость $\vec{V} = \vec{V}_{к} + \vec{v}_{ \infty}$ (относительно Солнца). Наименьшая для замедления ракеты затрата энергии соответствует случаю, когда скорости $\vec{V}_{к}$ и $\vec{v}_{ \infty}$, направлены противоположно. В соответствии с этим полагаем $V = V_{к} - v_{ \infty}$ (все скорости положительны) и находим энергию, приходящуюся на единицу массы ракеты:
$\epsilon = \frac{1}{2} (V_{к} - v_{ \infty})^{2} - \frac{GM}{R} = - \frac{1}{2} (V_{к}^{2} + 2V_{к} v_{ \infty} - v_{ \infty}^{2} )$
($R = CA$ - расстояние ракеты до центра Солнца, рис.). Если эта величина отрицательна, то ракета будет описывать вокруг Солнца эллипс с большой осью
$2a = - \frac{GM}{ \epsilon} = \frac{2RV_{к}^{2} }{V_{к}^{2} + 2V_{к}v_{ \infty} - v_{ \infty}^{2} }$.
Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Пусть $x = CP$ - расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса, тогда $2a = R + x$. Это приводит к квадратному уравнению, меньший корень которого
$v_{ \infty} = V_{к} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2x}{R + x} } \right )$.
Заданием расстояния $x$ на поверхности Солнца определяется линия, на которой должна лежать заданная точка. Таким образом, искомая скорость $v$ определяется выражением
$v^{2} = v_{ \infty}^{2} + 2v_{к}^{2} = V_{к}^{2} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2x}{R + x} } \right )^{2} + 2v_{к}^{2}$.
При $x = 0$ (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость $v$ максимальна и равна
$v_{max} = \sqrt{V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2} } \approx 31,8 км/с$.
Ракета упадет в передней точке Солнца. При $x = r$ ($r$ - радиус Солнца) скорость минимальна:
$v_{min} = \sqrt{V_{к}^{2} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2r}{R + r} } \right )^{2} + 2v_{к}^{2} } \approx \sqrt{ V_{к}^{2} (1 - \sqrt{ \alpha } )^{2} + 2v_{к}^{2}} \approx 29,2 км/с$.
Ракета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности.
Вычислить приближенно четвертую космическую скорость, т. е. минимальную скорость, которую надо сообщить ракете на поверхности Земли, чтобы ракета могла упасть в заданную точку Солнца. Средний угловой радиус Солнца $\alpha = 4,65 \cdot 10^{-3} рад$. Предполагается, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите со скоростью $V_{к} = 29,8 км/с$. Вычислить, в частности, значение четвертой космической скорости при дополнительном условии, чтобы ракета падала на Солнце радиально (т. е. чтобы продолжение ее прямолинейной траектории проходило через центр Солнца).
Решение:
Ракета на старте с Землей со скоростью $\vec{V}_{к}$. Чтобы ракета упала на Солнце, надо ее движение затормозить. Как и в предыдущей задаче, находим, что по выходе из поля земного тяготения ракета будет иметь скорость $\vec{V} = \vec{V}_{к} + \vec{v}_{ \infty}$ (относительно Солнца). Наименьшая для замедления ракеты затрата энергии соответствует случаю, когда скорости $\vec{V}_{к}$ и $\vec{v}_{ \infty}$, направлены противоположно. В соответствии с этим полагаем $V = V_{к} - v_{ \infty}$ (все скорости положительны) и находим энергию, приходящуюся на единицу массы ракеты:
$\epsilon = \frac{1}{2} (V_{к} - v_{ \infty})^{2} - \frac{GM}{R} = - \frac{1}{2} (V_{к}^{2} + 2V_{к} v_{ \infty} - v_{ \infty}^{2} )$
($R = CA$ - расстояние ракеты до центра Солнца, рис.). Если эта величина отрицательна, то ракета будет описывать вокруг Солнца эллипс с большой осью
$2a = - \frac{GM}{ \epsilon} = \frac{2RV_{к}^{2} }{V_{к}^{2} + 2V_{к}v_{ \infty} - v_{ \infty}^{2} }$.
Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Пусть $x = CP$ - расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса, тогда $2a = R + x$. Это приводит к квадратному уравнению, меньший корень которого
$v_{ \infty} = V_{к} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2x}{R + x} } \right )$.
Заданием расстояния $x$ на поверхности Солнца определяется линия, на которой должна лежать заданная точка. Таким образом, искомая скорость $v$ определяется выражением
$v^{2} = v_{ \infty}^{2} + 2v_{к}^{2} = V_{к}^{2} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2x}{R + x} } \right )^{2} + 2v_{к}^{2}$.
При $x = 0$ (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) скорость $v$ максимальна и равна
$v_{max} = \sqrt{V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2} } \approx 31,8 км/с$.
Ракета упадет в передней точке Солнца. При $x = r$ ($r$ - радиус Солнца) скорость минимальна:
$v_{min} = \sqrt{V_{к}^{2} \left ( 1 - \sqrt{ \frac{2r}{R + r} } \right )^{2} + 2v_{к}^{2} } \approx \sqrt{ V_{к}^{2} (1 - \sqrt{ \alpha } )^{2} + 2v_{к}^{2}} \approx 29,2 км/с$.
Ракета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверхности.
