Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13718
2020-03-12 
Вычислить приближенно третью космическую скорость, предполагая, что ракета выходит из зоны действия земного тяготения под углом $\delta$ к направлению орбитального движения Земли вокруг Солнца. Считать, что, кроме Земли и Солнца, на ракету никакие другие тела не действуют. (Третьей космической скоростью называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете относительно Земли, чтобы ракета навсегда покинула пределы Солнечной системы (ушла в бесконечность).)
Решение:
Все скорости относительно Земли условимся обозначать малыми, а относительно Солнца - большими буквами. Разделим движение ракеты на два этапа. На первом этапе движение будем рассматривать в системе отсчета, в которой Земля неподвижна, пренебрегая при этом полностью неоднородностью поля солнечного тяготения. В этом приближении сила гравитационного притяжения Солнца полностью компенсируется силой инерции, связанной с ускоренным движением центра Земли. Считая массу Земли $M$ бесконечно большой по сравнению с массой корабля $m$, запишем уравнение энергии в виде
$\frac{mv^{2}}{2} - G \frac{Mm}{r} = \frac{mv{ \infty}^{2} }{2}$,
где $v_{ infty}$ - скорость ракеты в тот момент, когда она практически выходит из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую скорость $v_{к}^{2} = \frac{GM}{r}$, получим $v_{ \infty}^{2} = v^{2} - 2v_{к}^{2}$. После того как ракета выйдет из зоны действия земного тяготения, будем относить ее движение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. Скорость ракеты в этой системе отсчета векторно складывается из скорости $\vec{v}_{ \infty}$ и скорости кругового движения Земли $\vec{V}_{к}: \vec{V} = \vec{V}_{к} + \vec{v}_{ \infty}$. Возведя в квадрат, получим
$V^{2} = V_{к}^{2} + v_{ \infty}^{2} + 2 \vec{V}_{к}v_{ \infty} = V_{к}^{2} + v_{ \infty}^{2} + 2V_{к}v_{ \infty} \cos \theta$.
Чтобы найти третью космическую скорость, надо в этом соотношении положить $V = V_{п} = \sqrt{2} V_{к}$, где $V_{п}$ - параболическая, а $V_{к} = 29,8 км/с$ - круговая скорости движения ракеты относительно Солнца. Это приводит к уравнению
$v_{ \infty}^{2} + 2V_{к}v_{ \infty} \cos \theta - V_{к}^{2} = 0$,
из которого находим
$v_{ \infty} = ( \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} - \cos \theta ) V_{к}$.
(Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина $v_{ \infty}$ по своему смыслу существенно положительна.) После этого получаем
$v^{2} = ( \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} - \cos \theta )^{2}V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2}$.
Наименьшее значение третьей космической скорости получается при $\theta = 0$ (ракета выпущена в направлении орбитального движения Земли), наибольшее при $\theta = \pi$ (ракета выпущена в направлении против орбитального движения Земли):
$v_{min} = \sqrt{( \sqrt{2} - 1) V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2}} \approx 16,7 км/с$,
$v_{max} = \sqrt{( \sqrt{2} + 1) V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2}} \approx 72,7 км/с$,
Вычислить приближенно третью космическую скорость, предполагая, что ракета выходит из зоны действия земного тяготения под углом $\delta$ к направлению орбитального движения Земли вокруг Солнца. Считать, что, кроме Земли и Солнца, на ракету никакие другие тела не действуют. (Третьей космической скоростью называется минимальная скорость, которую надо сообщить ракете относительно Земли, чтобы ракета навсегда покинула пределы Солнечной системы (ушла в бесконечность).)
Решение:
Все скорости относительно Земли условимся обозначать малыми, а относительно Солнца - большими буквами. Разделим движение ракеты на два этапа. На первом этапе движение будем рассматривать в системе отсчета, в которой Земля неподвижна, пренебрегая при этом полностью неоднородностью поля солнечного тяготения. В этом приближении сила гравитационного притяжения Солнца полностью компенсируется силой инерции, связанной с ускоренным движением центра Земли. Считая массу Земли $M$ бесконечно большой по сравнению с массой корабля $m$, запишем уравнение энергии в виде
$\frac{mv^{2}}{2} - G \frac{Mm}{r} = \frac{mv{ \infty}^{2} }{2}$,
где $v_{ infty}$ - скорость ракеты в тот момент, когда она практически выходит из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую скорость $v_{к}^{2} = \frac{GM}{r}$, получим $v_{ \infty}^{2} = v^{2} - 2v_{к}^{2}$. После того как ракета выйдет из зоны действия земного тяготения, будем относить ее движение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. Скорость ракеты в этой системе отсчета векторно складывается из скорости $\vec{v}_{ \infty}$ и скорости кругового движения Земли $\vec{V}_{к}: \vec{V} = \vec{V}_{к} + \vec{v}_{ \infty}$. Возведя в квадрат, получим
$V^{2} = V_{к}^{2} + v_{ \infty}^{2} + 2 \vec{V}_{к}v_{ \infty} = V_{к}^{2} + v_{ \infty}^{2} + 2V_{к}v_{ \infty} \cos \theta$.
Чтобы найти третью космическую скорость, надо в этом соотношении положить $V = V_{п} = \sqrt{2} V_{к}$, где $V_{п}$ - параболическая, а $V_{к} = 29,8 км/с$ - круговая скорости движения ракеты относительно Солнца. Это приводит к уравнению
$v_{ \infty}^{2} + 2V_{к}v_{ \infty} \cos \theta - V_{к}^{2} = 0$,
из которого находим
$v_{ \infty} = ( \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} - \cos \theta ) V_{к}$.
(Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина $v_{ \infty}$ по своему смыслу существенно положительна.) После этого получаем
$v^{2} = ( \sqrt{1 + \cos^{2} \theta} - \cos \theta )^{2}V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2}$.
Наименьшее значение третьей космической скорости получается при $\theta = 0$ (ракета выпущена в направлении орбитального движения Земли), наибольшее при $\theta = \pi$ (ракета выпущена в направлении против орбитального движения Земли):
$v_{min} = \sqrt{( \sqrt{2} - 1) V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2}} \approx 16,7 км/с$,
$v_{max} = \sqrt{( \sqrt{2} + 1) V_{к}^{2} + 2v_{к}^{2}} \approx 72,7 км/с$,
