Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13717
2020-03-12 
Спутник, круговая орбита которого расположена в экваториальной плоскости, "висит" неподвижно над некоторой точкой земной поверхности. Спутник получает возмущающий импульс, сообщающий ему малую вертикальную скорость $v_{0}$ (рис.). Какова возмущенная траектория спутника по отношению к земному наблюдателю?
Решение:
Исходим из уравнения динамики: $m \vec{a}_{0} = \vec{P} - [2m \vec{ \omega} \vec{v}_{0}]$, где $\vec{P}$ - "вес" тела, который для точки равновесия спутника А равен нулю:
$P_{A} = - \frac{C}{R_{0}^{2} } + m \omega^{2}R_{0} = 0$ ($C = GmM$).
Для возмущенного движения
$P = - \frac{C}{(R_{0} + y )^{2} } + m \omega^{2} (R_{0} + y ) \approx \frac{2C}{R_{0}^{3} } y + m \omega^{2}y = 3m \omega^{2}y$.
В проекциях на оси координатной системы X, Y, Z с началом в точке А уравнения динамики записываются в виде:
$\ddot{x} = - 2 \omega \dot{y}, \ddot{y} = 3 \omega^{2}y + 2 \omega \dot{x}, \ddot{z} = 0$.
Отсюда $\dot{x} = - 2 \omega y, \ddot{y} + \omega^{2}y = 0$, что при начальных условиях $y(0) = 0, \dot{y}(0) = v_{0}$ дает
$y(t) = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t$.
Для координаты $x$ при $x(0)=0$ получаем:
$х(t) = - \frac{2v_{0} }{ \omega} (1 - \cos \omega t)$.
Спутник будет описывать малый эллипс:
$x(t) = - \frac{2v_{0} }{ \omega } (1 - \cos \omega t), y(t) = \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t$,
вершина которого лежит в точке равновесного положения спутника, а центр смещен на запад на расстояние $\frac{2 v_{0}}{ \omega}$, $\omega$ - угловая скорость вращения Земли.
Спутник, круговая орбита которого расположена в экваториальной плоскости, "висит" неподвижно над некоторой точкой земной поверхности. Спутник получает возмущающий импульс, сообщающий ему малую вертикальную скорость $v_{0}$ (рис.). Какова возмущенная траектория спутника по отношению к земному наблюдателю?
Решение:
Исходим из уравнения динамики: $m \vec{a}_{0} = \vec{P} - [2m \vec{ \omega} \vec{v}_{0}]$, где $\vec{P}$ - "вес" тела, который для точки равновесия спутника А равен нулю:
$P_{A} = - \frac{C}{R_{0}^{2} } + m \omega^{2}R_{0} = 0$ ($C = GmM$).
Для возмущенного движения
$P = - \frac{C}{(R_{0} + y )^{2} } + m \omega^{2} (R_{0} + y ) \approx \frac{2C}{R_{0}^{3} } y + m \omega^{2}y = 3m \omega^{2}y$.
В проекциях на оси координатной системы X, Y, Z с началом в точке А уравнения динамики записываются в виде:
$\ddot{x} = - 2 \omega \dot{y}, \ddot{y} = 3 \omega^{2}y + 2 \omega \dot{x}, \ddot{z} = 0$.
Отсюда $\dot{x} = - 2 \omega y, \ddot{y} + \omega^{2}y = 0$, что при начальных условиях $y(0) = 0, \dot{y}(0) = v_{0}$ дает
$y(t) = \frac{v_{0} }{ \omega } \sin \omega t$.
Для координаты $x$ при $x(0)=0$ получаем:
$х(t) = - \frac{2v_{0} }{ \omega} (1 - \cos \omega t)$.
Спутник будет описывать малый эллипс:
$x(t) = - \frac{2v_{0} }{ \omega } (1 - \cos \omega t), y(t) = \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t$,
вершина которого лежит в точке равновесного положения спутника, а центр смещен на запад на расстояние $\frac{2 v_{0}}{ \omega}$, $\omega$ - угловая скорость вращения Земли.
