Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13716
2020-03-12 
Спутник поднят ракетой-носителем вертикально до максимальной высоты, равной $R = 1,25 R_{з}$ ($R_{з}$ - радиус Земли), отсчитываемой от центра Земли. В верхней точке подъема ракетное устройство сообщило спутнику азимутальную (горизонтальную) скорость, равную по величине первой космической скорости: $v_{0} = v_{I}$, и вывело его на эллиптическую орбиту (рис.). Каково максимальное и минимальное удаление спутника от центра Земли?
Решение:
Энергия спутника в полярных координатах равна:
$E = \frac{m}{2} [ \dot{ \rho}^{2} + ( \rho^{2} \dot{ \phi})^{2} ] - \frac{C}{ \rho}$ ($C = GmM_{з}$).
Момент количества движения относительно центра сил равен: $L = m \rho ( \rho \dot{ \phi} )$. Исключая из уравнения энергии $\dot{ \phi}$ и учитывая, что в точках максимального и минимального удаления спутника от центра Земли $\dot{ \rho} = 0$, уравнение энергии можно записать в следующем виде:
$\rho^{2} - \frac{G}{|E| } \rho + \frac{L^{2} }{2m |E| } = 0$.
Здесь учтено, что полная энергия спутника $E$ на эллиптических орбитах всегда отрицательна. Два корня этого уравнения дают расстояние до перигея $\rho_{1}$ и апогея $\rho_{2}$ эллиптической орбиты. Согласно теореме Виета:
$\rho_{1} + \rho_{2} = 2a = \frac{C}{|E|}, \rho_{1} \rho_{2} = \frac{L^{2} }{2m|E| }$,
где $a$ - главная полуось эллиптической орбиты. Используя уравнение эллипса в полярных координатах, записанное для перигея и апогея: $\rho_{1,2} = \frac{ \rho}{1 \pm \epsilon }$, можно представить все геометрические параметры орбиты через механические константы движения.
В данной задаче полная энергия спутника:
$E = - \frac{C}{R} + \frac{mv_{0}^{2} }{2} = - 0,3 \frac{C}{R_{з} }$,
где $v_{0}^{2} = v_{1}^{2} = \frac{C}{mR_{з} }$ - квадрат первой космической скорости. Большая ось орбиты $2a = \frac{C}{|E|} = \rho_{1} + \rho_{2}$, отсюда $\rho_{1} = 1,25 R_{з}, \rho_{2} = \frac{C}{|E|} - \rho_{1} \approx 2,1 R_{з}$.
Спутник поднят ракетой-носителем вертикально до максимальной высоты, равной $R = 1,25 R_{з}$ ($R_{з}$ - радиус Земли), отсчитываемой от центра Земли. В верхней точке подъема ракетное устройство сообщило спутнику азимутальную (горизонтальную) скорость, равную по величине первой космической скорости: $v_{0} = v_{I}$, и вывело его на эллиптическую орбиту (рис.). Каково максимальное и минимальное удаление спутника от центра Земли?
Решение:
Энергия спутника в полярных координатах равна:
$E = \frac{m}{2} [ \dot{ \rho}^{2} + ( \rho^{2} \dot{ \phi})^{2} ] - \frac{C}{ \rho}$ ($C = GmM_{з}$).
Момент количества движения относительно центра сил равен: $L = m \rho ( \rho \dot{ \phi} )$. Исключая из уравнения энергии $\dot{ \phi}$ и учитывая, что в точках максимального и минимального удаления спутника от центра Земли $\dot{ \rho} = 0$, уравнение энергии можно записать в следующем виде:
$\rho^{2} - \frac{G}{|E| } \rho + \frac{L^{2} }{2m |E| } = 0$.
Здесь учтено, что полная энергия спутника $E$ на эллиптических орбитах всегда отрицательна. Два корня этого уравнения дают расстояние до перигея $\rho_{1}$ и апогея $\rho_{2}$ эллиптической орбиты. Согласно теореме Виета:
$\rho_{1} + \rho_{2} = 2a = \frac{C}{|E|}, \rho_{1} \rho_{2} = \frac{L^{2} }{2m|E| }$,
где $a$ - главная полуось эллиптической орбиты. Используя уравнение эллипса в полярных координатах, записанное для перигея и апогея: $\rho_{1,2} = \frac{ \rho}{1 \pm \epsilon }$, можно представить все геометрические параметры орбиты через механические константы движения.
В данной задаче полная энергия спутника:
$E = - \frac{C}{R} + \frac{mv_{0}^{2} }{2} = - 0,3 \frac{C}{R_{з} }$,
где $v_{0}^{2} = v_{1}^{2} = \frac{C}{mR_{з} }$ - квадрат первой космической скорости. Большая ось орбиты $2a = \frac{C}{|E|} = \rho_{1} + \rho_{2}$, отсюда $\rho_{1} = 1,25 R_{з}, \rho_{2} = \frac{C}{|E|} - \rho_{1} \approx 2,1 R_{з}$.
