Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13714
2020-03-12 
Условие, при котором симметричный гироскоп может совершать регулярную прецессию, можно получить, применяя теорему Кориолиса. Рассмотреть тонкое кольцо, равномерно вращающееся в своей плоскости с угловой скоростью $\omega$ и прецессирующее вокруг одного из диаметров с постоянной угловой скоростью $\Omega$ (рис.). Какие силы надо приложить к кольцу для поддержания такой регулярной прецессии?
Решение:
Разделим мысленно кольцо на бесконечно малые элементы-материальные точки с массами $dm$. Рассмотрим движение одной из таких материальных точек. Так как $\vec{v}_{отн} = [ \vec{ \omega} \vec{r} ]$, то по теореме Кориолиса действующая на точку сила
$d \vec{f} = dm \vec{ \omega}^{2} \vec{r} + dm [ \vec{ \Omega} [ \vec{ \Omega } \vec{r} ]] + 2dm [ \vec{ \Omega} [ \vec{ \omega} \vec{r} ]]$.
Это выражение меняет знак при изменении знака $\vec{r}$, а потому при интегрировании по всему кольцу дает нуль. Отсюда следует, что результирующая сила, действующая на кольцо, должна равняться нулю. Для вычисления момента $d \vec{M}$ силы $d \vec{f}$ введем прямоугольную систему координат с ортами $\vec{i} , \vec{j}, \vec{k}$, направив ось X вдоль $\omega$, а ось Y - вдоль $\vec{ \Omega}$. После простых вычислений получим
$d \vec{M} = 2 [ \vec{ \Omega} \vec{ \omega}] y^{2} dm + \vec{ \Omega} (2 \omega \vec{j} + \Omega \vec{i} ) yz$.
При интегрировании по всему кольцу последнее слагаемое дает нуль, а потому
$\vec{M} = 2[ \vec{ \Omega} \vec{ \omega} ] I_{z} = [ \vec{ \Omega} \vec{ \omega} ] I_{x}$,
где $I_{z}$ и $I_{x}$ - моменты инерции кольца относительно осей Z и X соответственно. Таким образом, искомый момент $\vec{M}$ должен быть перпендикулярен как к $\vec{ \omega}$, так и к $\vec{ \Omega}$. Результат верен и в том случае, когда векторы $\vec{ \omega}$ и $\vec{ \Omega}$ не взаимно перпендикулярны.
Условие, при котором симметричный гироскоп может совершать регулярную прецессию, можно получить, применяя теорему Кориолиса. Рассмотреть тонкое кольцо, равномерно вращающееся в своей плоскости с угловой скоростью $\omega$ и прецессирующее вокруг одного из диаметров с постоянной угловой скоростью $\Omega$ (рис.). Какие силы надо приложить к кольцу для поддержания такой регулярной прецессии?
Решение:
Разделим мысленно кольцо на бесконечно малые элементы-материальные точки с массами $dm$. Рассмотрим движение одной из таких материальных точек. Так как $\vec{v}_{отн} = [ \vec{ \omega} \vec{r} ]$, то по теореме Кориолиса действующая на точку сила
$d \vec{f} = dm \vec{ \omega}^{2} \vec{r} + dm [ \vec{ \Omega} [ \vec{ \Omega } \vec{r} ]] + 2dm [ \vec{ \Omega} [ \vec{ \omega} \vec{r} ]]$.
Это выражение меняет знак при изменении знака $\vec{r}$, а потому при интегрировании по всему кольцу дает нуль. Отсюда следует, что результирующая сила, действующая на кольцо, должна равняться нулю. Для вычисления момента $d \vec{M}$ силы $d \vec{f}$ введем прямоугольную систему координат с ортами $\vec{i} , \vec{j}, \vec{k}$, направив ось X вдоль $\omega$, а ось Y - вдоль $\vec{ \Omega}$. После простых вычислений получим
$d \vec{M} = 2 [ \vec{ \Omega} \vec{ \omega}] y^{2} dm + \vec{ \Omega} (2 \omega \vec{j} + \Omega \vec{i} ) yz$.
При интегрировании по всему кольцу последнее слагаемое дает нуль, а потому
$\vec{M} = 2[ \vec{ \Omega} \vec{ \omega} ] I_{z} = [ \vec{ \Omega} \vec{ \omega} ] I_{x}$,
где $I_{z}$ и $I_{x}$ - моменты инерции кольца относительно осей Z и X соответственно. Таким образом, искомый момент $\vec{M}$ должен быть перпендикулярен как к $\vec{ \omega}$, так и к $\vec{ \Omega}$. Результат верен и в том случае, когда векторы $\vec{ \omega}$ и $\vec{ \Omega}$ не взаимно перпендикулярны.
