Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13713
2020-03-12 
Однородный гладкий сплошной шар, находящийся на горизонтальном столе, быстро вертится вокруг своего вертикального диаметра с угловой скоростью $\omega_{0}$ (рис.). В него ударяет второй, в точности такой же шар. Происходит абсолютно упругий удар без передачи вращения. Ударяемый шар начинает двигаться по столу со скольжением. Коэффициент трения скольжения $k$ считается не зависящим от скорости. Найти угол $\alpha$ между мгновенной осью вращения ударяемого шара и вертикальной линией для любого момента времени $t$, когда еще не прекратилось скольжение. Найти также значение этого угла в момент, когда движение переходит в чистое качение. Трением верчения и трением качения пренебречь. Рассмотреть частный случай, когда величины $v_{0}$ и $\omega_{0}$ связаны соотношением $v_{0} = \omega_{0}r$.
Решение:
После удара центр ударяемого шара начнет двигаться с начальной скоростью $v_{0}$. По теореме о движении центра масс его скорость в момент времени $t$ будет $v = v_{0} - kgt$. Пусть $\vec{ \omega}$ - мгновенное значение вектора угловой скорости. Момент силы трения относительно центра шара будет $kmgr \vec{i}$, где $\vec{i}$ - единичный вектор, направленный за плоскость рисунка и перпендикулярный к ней. Из уравнения моментов $I \frac{d \vec{ \omega}}{dt} = kmgr \vec{i}$ получаем $\frac{2}{5} r \frac{d \vec{ \omega}} {dt } = kg \vec{i}$. Отсюда $\omega = \omega_{0} + \frac{5}{2} \frac{kgt}{r} \vec{i}$. Мгновенная ось вращения всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка. Угол $\alpha$ определяется уравнением $tg \alpha = \frac{5}{2} \frac{kgt}{r \omega_{0}}$.
Определим теперь момент начала чистого качения. Скорость поступательного движения шара зависит только от горизонтальной составляющей вектора $\vec{ \omega}$. Момент начала чистого качения найдется из условий $\frac{5}{2}kgt = v_{0} - kgt$. С этого момента угол $\alpha$ становится и продолжает оставаться постоянным, причем $tg \alpha = \frac{5}{7} \frac{v_{0}}{r \omega_{0} }$. В частном случае, когда $v_{0} = \omega_{0}r, tg \alpha = \frac{5}{7}, \alpha =35^{ \circ} 32^{ \prime}$. Заметим, что найденное решение определяет поворот оси вращения относительно внешнего пространства, а не внутри самого шара.
Однородный гладкий сплошной шар, находящийся на горизонтальном столе, быстро вертится вокруг своего вертикального диаметра с угловой скоростью $\omega_{0}$ (рис.). В него ударяет второй, в точности такой же шар. Происходит абсолютно упругий удар без передачи вращения. Ударяемый шар начинает двигаться по столу со скольжением. Коэффициент трения скольжения $k$ считается не зависящим от скорости. Найти угол $\alpha$ между мгновенной осью вращения ударяемого шара и вертикальной линией для любого момента времени $t$, когда еще не прекратилось скольжение. Найти также значение этого угла в момент, когда движение переходит в чистое качение. Трением верчения и трением качения пренебречь. Рассмотреть частный случай, когда величины $v_{0}$ и $\omega_{0}$ связаны соотношением $v_{0} = \omega_{0}r$.
Решение:
После удара центр ударяемого шара начнет двигаться с начальной скоростью $v_{0}$. По теореме о движении центра масс его скорость в момент времени $t$ будет $v = v_{0} - kgt$. Пусть $\vec{ \omega}$ - мгновенное значение вектора угловой скорости. Момент силы трения относительно центра шара будет $kmgr \vec{i}$, где $\vec{i}$ - единичный вектор, направленный за плоскость рисунка и перпендикулярный к ней. Из уравнения моментов $I \frac{d \vec{ \omega}}{dt} = kmgr \vec{i}$ получаем $\frac{2}{5} r \frac{d \vec{ \omega}} {dt } = kg \vec{i}$. Отсюда $\omega = \omega_{0} + \frac{5}{2} \frac{kgt}{r} \vec{i}$. Мгновенная ось вращения всегда лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка. Угол $\alpha$ определяется уравнением $tg \alpha = \frac{5}{2} \frac{kgt}{r \omega_{0}}$.
Определим теперь момент начала чистого качения. Скорость поступательного движения шара зависит только от горизонтальной составляющей вектора $\vec{ \omega}$. Момент начала чистого качения найдется из условий $\frac{5}{2}kgt = v_{0} - kgt$. С этого момента угол $\alpha$ становится и продолжает оставаться постоянным, причем $tg \alpha = \frac{5}{7} \frac{v_{0}}{r \omega_{0} }$. В частном случае, когда $v_{0} = \omega_{0}r, tg \alpha = \frac{5}{7}, \alpha =35^{ \circ} 32^{ \prime}$. Заметим, что найденное решение определяет поворот оси вращения относительно внешнего пространства, а не внутри самого шара.
