Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13712
2020-03-12 
Тонкий стержень длиной $a + b$ шарнирно закреплен в точке, отстоящей на расстояние $b$ от одного из его концов, и вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, описывая круговой конус (рис.). Определить угол отклонения стержня от вертикали.
Решение:
В системе координат, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$, условие равновесия стержня можно записать в виде $M_{ц.с} = M_{с.т}$, где $M_{ц.с}$ - момент центробежной силы и $M_{с.т}$ - момент силы тяжести относительно точки закрепления стержня.
Центробежная сила инерции, действующая на элемент стержня длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от точки закрепления, будет равна
$dF_{ц.с} = \frac{mdx}{a + b} \omega^{2} x \sin \alpha$.
Соответствующий момент силы можно записать в виде
$dM_{ц.с} = dF_{ц.с} \cdot x \cos \alpha$.
Отсюда для полного момента центробежной силы инерции имеем
$M_{ц.с} = \frac{m \omega^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{a + b} \int_{-b}^{a} x^{2}dx = \frac{1}{3} \frac{m \omega^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{a+b} (a^{3} + b^{3} )$.
Приравнивая эту величину моменту силы тяжести $M_{с.т} = mg \frac{a - b}{2} \sin \alpha$, получим ответ.
$\cos \alpha = \frac{3(a^{2} - b^{2} )g }{2 \omega^{2} (a^{3} + b^{3} ) }$
Тонкий стержень длиной $a + b$ шарнирно закреплен в точке, отстоящей на расстояние $b$ от одного из его концов, и вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, описывая круговой конус (рис.). Определить угол отклонения стержня от вертикали.
Решение:
В системе координат, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$, условие равновесия стержня можно записать в виде $M_{ц.с} = M_{с.т}$, где $M_{ц.с}$ - момент центробежной силы и $M_{с.т}$ - момент силы тяжести относительно точки закрепления стержня.
Центробежная сила инерции, действующая на элемент стержня длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от точки закрепления, будет равна
$dF_{ц.с} = \frac{mdx}{a + b} \omega^{2} x \sin \alpha$.
Соответствующий момент силы можно записать в виде
$dM_{ц.с} = dF_{ц.с} \cdot x \cos \alpha$.
Отсюда для полного момента центробежной силы инерции имеем
$M_{ц.с} = \frac{m \omega^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{a + b} \int_{-b}^{a} x^{2}dx = \frac{1}{3} \frac{m \omega^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{a+b} (a^{3} + b^{3} )$.
Приравнивая эту величину моменту силы тяжести $M_{с.т} = mg \frac{a - b}{2} \sin \alpha$, получим ответ.
$\cos \alpha = \frac{3(a^{2} - b^{2} )g }{2 \omega^{2} (a^{3} + b^{3} ) }$
