Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13711
2020-03-12 
На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длины $l$ и массы $M$, в край которого ударяет твердый шарик массы $m$, движущийся со скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к стержню. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на ней телами пренебрежимо малы, вычислить угловую скорость вращения стержня после удара.
Решение:
Если $F$ - сила, действующая на шарик во время удара, то уравнение движения шарика будет от $m \frac{dv}{dt} = -F$. Уравнение движения центра масс стержня: $M \frac{dV}{dt} = F$. Уравнение моментов для стержня относительно центра масс: $I \frac{d \omega }{dt} = \frac{Fl}{2}$. Почленным делением исключаем $F$ и получаем
$\frac{m}{I} \frac{dv}{d \omega} = - \frac{2}{l}, \frac{M}{I} \frac{dV}{d \omega } = \frac{2}{l}$.
Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости $\omega = 0$ до конечного, найдем
$v - v_{0} = - \frac{2}{l} \frac{I}{m} \omega, V = \frac{2}{l} \frac{I}{m} \omega$,
причем в этих уравнениях $v, V$ и $\omega$ означают величины соответствующих скоростей после удара. Угловая скорость $\omega$ найдется из уравнения сохранения энергии. Если в него подставить значения $v$ и $V$, то для $\omega$ получится квадратное уравнение
$\left [ 1 + \frac{4I}{l^{2} } \left ( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right ) \right ] \omega^{2} - 4 \frac{v_{0} }{l} \omega = 0$.
Одни нз корней этого уравнения ($\omega = 0$) дает угловую скорость стержня до удара, второй - после удара. По условию задачи надо взять второй корень. С учетом соотношения $I = \frac{1}{12} Ml^{2}$ для него получаем $\omega = \frac{12mv_{0} }{(4m + M)l}$.
На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длины $l$ и массы $M$, в край которого ударяет твердый шарик массы $m$, движущийся со скоростью $v_{0}$, перпендикулярной к стержню. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на ней телами пренебрежимо малы, вычислить угловую скорость вращения стержня после удара.
Решение:
Если $F$ - сила, действующая на шарик во время удара, то уравнение движения шарика будет от $m \frac{dv}{dt} = -F$. Уравнение движения центра масс стержня: $M \frac{dV}{dt} = F$. Уравнение моментов для стержня относительно центра масс: $I \frac{d \omega }{dt} = \frac{Fl}{2}$. Почленным делением исключаем $F$ и получаем
$\frac{m}{I} \frac{dv}{d \omega} = - \frac{2}{l}, \frac{M}{I} \frac{dV}{d \omega } = \frac{2}{l}$.
Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости $\omega = 0$ до конечного, найдем
$v - v_{0} = - \frac{2}{l} \frac{I}{m} \omega, V = \frac{2}{l} \frac{I}{m} \omega$,
причем в этих уравнениях $v, V$ и $\omega$ означают величины соответствующих скоростей после удара. Угловая скорость $\omega$ найдется из уравнения сохранения энергии. Если в него подставить значения $v$ и $V$, то для $\omega$ получится квадратное уравнение
$\left [ 1 + \frac{4I}{l^{2} } \left ( \frac{1}{m} + \frac{1}{M} \right ) \right ] \omega^{2} - 4 \frac{v_{0} }{l} \omega = 0$.
Одни нз корней этого уравнения ($\omega = 0$) дает угловую скорость стержня до удара, второй - после удара. По условию задачи надо взять второй корень. С учетом соотношения $I = \frac{1}{12} Ml^{2}$ для него получаем $\omega = \frac{12mv_{0} }{(4m + M)l}$.
