Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13710
2020-03-12 
Вращающийся с угловой скоростью $\omega_{0}$ сплошной однородный цилиндр радиуса $r$ ставится без начальной поступательной скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Определить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего положения на наклонной плоскости.
Решение:
Пусть $\vec{F}$ - сила трения, действующая на цилиндр, в месте соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис.). Она заставляет цилиндр подниматься по наклонной плоскости. Сначала, пока не установилось чистое качение, $\vec{F}$ является силой трения скольжения. После перехода движения в чистое качение $\vec{F}$ становится силой трения покоя (сцепления). Однако, независимо от характера движения, оно всегда подчиняется уравнению движения центра масс $m \frac{dv}{dt} = F - mg \sin \alpha$ и уравнению моментов (относительно геометрической оси цилиндра) $I \frac{d \omega}{dt} = -Fr$. Исключая $F$, получим
$mr \frac{dv}{dt} = - I \frac{d \omega }{dt} - mgr \sin \alpha$.
Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия ($\omega = \omega_{0}$ при $t = 0$) дает
$mrv = I( \omega_{0} - \omega ) - mgrt \sin \alpha$.
Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, независимо от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым качением. В наивысшей точке должно быть $v = 0$. Отсюда следует, что в той же точке $\omega = 0$. В противном случае цилиндр продолжал бы вкатываться, и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема $t$ найдется, если в предыдущем уравнении положить $v = \omega = 0$. Это дает
$t = \frac{I \omega_{0}}{mgr \sin \alpha } = \frac{r \omega_{0} }{2g \sin \alpha }$.
Любопытно, что время поднятия $t$ не зависит от коэффициента трения между цилиндром и наклонной плоскостью. Результат не изменился бы даже тогда, когда коэффициент трения стал переменным. Решение предполагает, однако, что трение достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления определяется прежней формулой.
Напротив, время обратного скатывания цилиндра вниз, а также наибольшая высота поднятия его зависят от коэффициента трения. Такое различие объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чистым качением. Поднятие же его вверх сначала происходит со скольжением, а затем переходит в чистое качение.
Вращающийся с угловой скоростью $\omega_{0}$ сплошной однородный цилиндр радиуса $r$ ставится без начальной поступательной скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Определить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего положения на наклонной плоскости.
Решение:
Пусть $\vec{F}$ - сила трения, действующая на цилиндр, в месте соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис.). Она заставляет цилиндр подниматься по наклонной плоскости. Сначала, пока не установилось чистое качение, $\vec{F}$ является силой трения скольжения. После перехода движения в чистое качение $\vec{F}$ становится силой трения покоя (сцепления). Однако, независимо от характера движения, оно всегда подчиняется уравнению движения центра масс $m \frac{dv}{dt} = F - mg \sin \alpha$ и уравнению моментов (относительно геометрической оси цилиндра) $I \frac{d \omega}{dt} = -Fr$. Исключая $F$, получим
$mr \frac{dv}{dt} = - I \frac{d \omega }{dt} - mgr \sin \alpha$.
Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия ($\omega = \omega_{0}$ при $t = 0$) дает
$mrv = I( \omega_{0} - \omega ) - mgrt \sin \alpha$.
Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, независимо от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым качением. В наивысшей точке должно быть $v = 0$. Отсюда следует, что в той же точке $\omega = 0$. В противном случае цилиндр продолжал бы вкатываться, и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема $t$ найдется, если в предыдущем уравнении положить $v = \omega = 0$. Это дает
$t = \frac{I \omega_{0}}{mgr \sin \alpha } = \frac{r \omega_{0} }{2g \sin \alpha }$.
Любопытно, что время поднятия $t$ не зависит от коэффициента трения между цилиндром и наклонной плоскостью. Результат не изменился бы даже тогда, когда коэффициент трения стал переменным. Решение предполагает, однако, что трение достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления определяется прежней формулой.
Напротив, время обратного скатывания цилиндра вниз, а также наибольшая высота поднятия его зависят от коэффициента трения. Такое различие объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чистым качением. Поднятие же его вверх сначала происходит со скольжением, а затем переходит в чистое качение.
