Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13709
2020-03-12 
Сплошному однородному шару радиуса $r$, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщается в начальный момент времени поступательная скорость $v_{0}$ без вращения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти угловую скорость шара, когда его движение, перейдет в чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение.
Решение:
Напишем уравнение движения центра масс и уравнение моментов (относительно центра шара):
$m \frac{dv}{dt} = - F, I \frac{d \omega}{dt} = rF$,
где $F$ - сила трения, действующая в точке касания шара с плоскостью. Исключая почленным делением силу $F$, находим $\frac{dv}{d \omega} = - \frac{I}{mr}$. Интегрирование этого уравнения дает $v = - \frac{I \omega}{mr} + C$. Постоянная интегрирования $C$ найдется из условия, что при $v = v_{0}$ шар не вращается ($\omega = 0$). Это приводит к соотношению
$v_{0} - v = \frac{I}{ mr} \omega$.
Когда наступит чистое качение, должно выполняться второе соотношение $v = \omega r$. Из этих двух соотношений находим
$\omega = \frac{mr}{I + mr^{2} } v_{0} = \frac{5}{7} \frac{v_{0} }{r}$.
Вычислив кинетические энергии в начале и в конце, найдем потерю кинетической энергии на трение:
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{I}{I + mr^{2} } mv_{0}^{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{7}$.
Сплошному однородному шару радиуса $r$, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщается в начальный момент времени поступательная скорость $v_{0}$ без вращения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти угловую скорость шара, когда его движение, перейдет в чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение.
Решение:
Напишем уравнение движения центра масс и уравнение моментов (относительно центра шара):
$m \frac{dv}{dt} = - F, I \frac{d \omega}{dt} = rF$,
где $F$ - сила трения, действующая в точке касания шара с плоскостью. Исключая почленным делением силу $F$, находим $\frac{dv}{d \omega} = - \frac{I}{mr}$. Интегрирование этого уравнения дает $v = - \frac{I \omega}{mr} + C$. Постоянная интегрирования $C$ найдется из условия, что при $v = v_{0}$ шар не вращается ($\omega = 0$). Это приводит к соотношению
$v_{0} - v = \frac{I}{ mr} \omega$.
Когда наступит чистое качение, должно выполняться второе соотношение $v = \omega r$. Из этих двух соотношений находим
$\omega = \frac{mr}{I + mr^{2} } v_{0} = \frac{5}{7} \frac{v_{0} }{r}$.
Вычислив кинетические энергии в начале и в конце, найдем потерю кинетической энергии на трение:
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{I}{I + mr^{2} } mv_{0}^{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{7}$.
