Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13708
2020-03-12 
Сплошной цилиндр, ось которого горизонтальна, движется без вращения по гладкой горизонтальной плоскости в направлении, перпендикулярном к его оси. В некоторый момент цилиндр достигает границы, где поверхность становится шероховатой и возникает постоянная (не зависящая от скорости) сила трения скольжения, а трение качения отсутствует. Каково будет движение цилиндра после перехода границы? Как распределится кинетическая энергия поступательного движения цилиндра?
Решение:
Пусть масса цилиндра $m$, момент инерции $I$, сила трения $f$ и начальная скорость $v_{0}$. Тогда
$m \frac{dv}{dt} = - f, fr = I \frac{d \omega}{dt}$,
откуда
$v = v_{0} - \frac{f}{m}t, \omega = \frac{frt}{I}$.
После перехода границы шероховатости скорость скольжения будет $v_{ск} = v - \omega r = v_{0} - \alpha ft$, где $\alpha = \frac{1}{m} + \frac{r^{2}}{I} = \frac{3}{m}$ (так как $I = \frac{mr^{2}}{2}$). Через время $T = \frac{v_{0}}{ \alpha f}$ скорость скольжения обратится в нуль, и дальше начнется чистое качение без скольжения. Скорость поступательного движения при чистом качении будет
$v_{к} = v_{0} - \frac{fv_{0} }{m \alpha f} = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{m \alpha } \right ) = \frac{2v_{0} }{3}$.
Угловая скорость качения $\omega_{к} = \frac{fr v_{0}}{I \alpha f} = v_{0} \frac{r}{I \alpha }$. Следовательно,
$Q_{пост} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{1}{m \alpha } \right )^{2}, Q_{вращ} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \frac{r^{2} }{m \alpha^{2}I }$;
в тепло превращается энергия
$Q_{тепл} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} - Q_{пост} - Q_{вращ} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \frac{1}{m \alpha }$.
Можно также независимо подсчитать работу сил треиия и показать, что она равна $\frac{mv_{0}^{2}}{2} \frac{1}{m \alpha }$.
Движение после перехода границы будет сначала равнозамедленное, а затем с постоянной скоростью; 1/3 энергии превратится в тепло, 2/9 - во вращательную энергию и 4/9 останется в виде энергии поступательного движения.
Сплошной цилиндр, ось которого горизонтальна, движется без вращения по гладкой горизонтальной плоскости в направлении, перпендикулярном к его оси. В некоторый момент цилиндр достигает границы, где поверхность становится шероховатой и возникает постоянная (не зависящая от скорости) сила трения скольжения, а трение качения отсутствует. Каково будет движение цилиндра после перехода границы? Как распределится кинетическая энергия поступательного движения цилиндра?
Решение:
Пусть масса цилиндра $m$, момент инерции $I$, сила трения $f$ и начальная скорость $v_{0}$. Тогда
$m \frac{dv}{dt} = - f, fr = I \frac{d \omega}{dt}$,
откуда
$v = v_{0} - \frac{f}{m}t, \omega = \frac{frt}{I}$.
После перехода границы шероховатости скорость скольжения будет $v_{ск} = v - \omega r = v_{0} - \alpha ft$, где $\alpha = \frac{1}{m} + \frac{r^{2}}{I} = \frac{3}{m}$ (так как $I = \frac{mr^{2}}{2}$). Через время $T = \frac{v_{0}}{ \alpha f}$ скорость скольжения обратится в нуль, и дальше начнется чистое качение без скольжения. Скорость поступательного движения при чистом качении будет
$v_{к} = v_{0} - \frac{fv_{0} }{m \alpha f} = v_{0} \left ( 1 - \frac{1}{m \alpha } \right ) = \frac{2v_{0} }{3}$.
Угловая скорость качения $\omega_{к} = \frac{fr v_{0}}{I \alpha f} = v_{0} \frac{r}{I \alpha }$. Следовательно,
$Q_{пост} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{1}{m \alpha } \right )^{2}, Q_{вращ} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \frac{r^{2} }{m \alpha^{2}I }$;
в тепло превращается энергия
$Q_{тепл} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} - Q_{пост} - Q_{вращ} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \frac{1}{m \alpha }$.
Можно также независимо подсчитать работу сил треиия и показать, что она равна $\frac{mv_{0}^{2}}{2} \frac{1}{m \alpha }$.
Движение после перехода границы будет сначала равнозамедленное, а затем с постоянной скоростью; 1/3 энергии превратится в тепло, 2/9 - во вращательную энергию и 4/9 останется в виде энергии поступательного движения.
