Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13707
2020-03-12 
Полый цилиндр массы $M$ скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. В цилиндре находится гладкий шарик, который может скользить по внутренней поверхности цилиндра без трения. Существует ли такое положение шарика, при котором он будет двигаться параллельно наклонной плоскости, т. е. с тем же ускорением $a$, с каким движется ось цилиндра? Найти это положение, если оно существует. Что будет в предельном случае: $m \ll M$ и $\alpha \ll 1$ (угол $\alpha$ мал).
Решение:
Допустим, что требуемое положение шарика существует. На основании теоремы о движении центра масс
$(M + m)a = (M + m)g \sin \alpha - F_{тр}$,
где $F_{тр}$ - сила трения, с которой наклонная плоскость действует на цилиндр (рис.). Уравнение вращения цилиндра (без шарика) будет
$I \frac{d \omega}{dt} = F_{тр}r$,
где $I = Mr^{2}$ - момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси. Сила давления шарика на цилиндр в это уравнение не входит, так как она нормальна к поверхности цилиндра н ие дает момента относительно его оси. Ввиду отсутствия скольжения $a = r \frac{d \omega}{dt}$. Из написанных уравнений находим
$a = \frac{M + m}{2M + m} g \sin \alpha$.
Найдем теперь то же ускорение из уравнения движения шарика
$ma = mg \sin \alpha - F_{дав} \sin \phi, F_{дав} \cos \phi = mg \cos \phi$,
где $F_{дав}$ - сила, действующая со стороны цилиндра на шарик. Отсюда $a = g( \sin \alpha - \cos \alpha tg \phi)$. Путем сравнения с ранее найденным выражением получаем
$tg \phi = \frac{M}{2M + m} tg \alpha$.
Из полученного результата следует, что требуемое положение шарика существует, причем $\phi < \alpha$. Если $m \ll M$, то $tg \phi \approx \frac{1}{2} tg \alpha$. Если сверх того $\alpha \ll 1$, то $\phi \approx \frac{1}{2} \alpha$.
Полый цилиндр массы $M$ скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. В цилиндре находится гладкий шарик, который может скользить по внутренней поверхности цилиндра без трения. Существует ли такое положение шарика, при котором он будет двигаться параллельно наклонной плоскости, т. е. с тем же ускорением $a$, с каким движется ось цилиндра? Найти это положение, если оно существует. Что будет в предельном случае: $m \ll M$ и $\alpha \ll 1$ (угол $\alpha$ мал).
Решение:
Допустим, что требуемое положение шарика существует. На основании теоремы о движении центра масс
$(M + m)a = (M + m)g \sin \alpha - F_{тр}$,
где $F_{тр}$ - сила трения, с которой наклонная плоскость действует на цилиндр (рис.). Уравнение вращения цилиндра (без шарика) будет
$I \frac{d \omega}{dt} = F_{тр}r$,
где $I = Mr^{2}$ - момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси. Сила давления шарика на цилиндр в это уравнение не входит, так как она нормальна к поверхности цилиндра н ие дает момента относительно его оси. Ввиду отсутствия скольжения $a = r \frac{d \omega}{dt}$. Из написанных уравнений находим
$a = \frac{M + m}{2M + m} g \sin \alpha$.
Найдем теперь то же ускорение из уравнения движения шарика
$ma = mg \sin \alpha - F_{дав} \sin \phi, F_{дав} \cos \phi = mg \cos \phi$,
где $F_{дав}$ - сила, действующая со стороны цилиндра на шарик. Отсюда $a = g( \sin \alpha - \cos \alpha tg \phi)$. Путем сравнения с ранее найденным выражением получаем
$tg \phi = \frac{M}{2M + m} tg \alpha$.
Из полученного результата следует, что требуемое положение шарика существует, причем $\phi < \alpha$. Если $m \ll M$, то $tg \phi \approx \frac{1}{2} tg \alpha$. Если сверх того $\alpha \ll 1$, то $\phi \approx \frac{1}{2} \alpha$.
