Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13705
2020-03-12 
По наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, скатывается массивный полый цилиндр массы $m$ и радиуса $r$ (рис.). По поверхности цилиндра бежит собака таким образом, что она все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить, с каким ускорением $a$ скатывается цилиндр, если масса собаки $m_{1}$.
Решение:
Будем рассматривать все движения в системе отсчета, в которой наклонная плоскость неподвижна. Так как центр масс системы и мгновенная ось вращения А (см. рис.) движутся параллельно, то уравнение моментов относительно этой движущейся оси имеет вид $I \frac{d \omega}{dt} = M$. Момент количества движения системы $L$ слагается из момента количества движения цилиндра $I \omega$ и момента количества движения собаки $m_{1}vh$, где $h = r( 1 + \cos \alpha)$ - длина перпендикуляра, опущенного на наклонную плоскость из точки S. Итак,
$L= I \omega + m_{1}r v (1 + \cos \alpha)$,
причем под $I$ следует понимать момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси, т. е. величину $2mr^{2}$. Из-за отсутствия скольжения $v = \omega r$, а потому
$L = [2m + m_{1} (1 + \cos \alpha )]rv$.
Так как центр масс системы и мгновенная ось А движутся параллельно, то производная $L$ по времени должна равняться моменту внешних сил относительно мгновенной оси А, т. е. $(m + m_{1})gr \sin \alpha$. Приравнивая оба выражения, получим
$a = \frac{m + m_{1} }{2m + m_{1}(1 + \cos \alpha ) } g \sin \alpha$.
По наклонной плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, скатывается массивный полый цилиндр массы $m$ и радиуса $r$ (рис.). По поверхности цилиндра бежит собака таким образом, что она все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить, с каким ускорением $a$ скатывается цилиндр, если масса собаки $m_{1}$.
Решение:
Будем рассматривать все движения в системе отсчета, в которой наклонная плоскость неподвижна. Так как центр масс системы и мгновенная ось вращения А (см. рис.) движутся параллельно, то уравнение моментов относительно этой движущейся оси имеет вид $I \frac{d \omega}{dt} = M$. Момент количества движения системы $L$ слагается из момента количества движения цилиндра $I \omega$ и момента количества движения собаки $m_{1}vh$, где $h = r( 1 + \cos \alpha)$ - длина перпендикуляра, опущенного на наклонную плоскость из точки S. Итак,
$L= I \omega + m_{1}r v (1 + \cos \alpha)$,
причем под $I$ следует понимать момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси, т. е. величину $2mr^{2}$. Из-за отсутствия скольжения $v = \omega r$, а потому
$L = [2m + m_{1} (1 + \cos \alpha )]rv$.
Так как центр масс системы и мгновенная ось А движутся параллельно, то производная $L$ по времени должна равняться моменту внешних сил относительно мгновенной оси А, т. е. $(m + m_{1})gr \sin \alpha$. Приравнивая оба выражения, получим
$a = \frac{m + m_{1} }{2m + m_{1}(1 + \cos \alpha ) } g \sin \alpha$.
