Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13703
2020-03-12 
Обруч радиуса $r$ свободно скатывается с вершины неподвижной цилиндрической поверхности радиуса $R > r$ (рис.). В какой точке поверхности начнется скольжение обруча? Коэффициент трения между обручем и поверхностью $k = 0,5$.
Решение:
Записываем уравнения динамики для скатывающегося обруча:
$ma_{n} = mg \cos \phi - N, ma_{ \tau} = mg \sin \phi - F_{т}$,
$I_{0} \dot{ \omega} = r F_{T}, a_{ \tau} = \dot{ \omega}r$,
где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R + r}, a_{ \tau} = \frac{dv}{dt}$, $F_{T}$ - сила сухого трения, $N$ - сила нормального давления, $I_{0}$ - момент инерции обруча. Отсюда определяем силу трения $F_{T} = \frac{mg}{2} \sin \phi$ и силу нормального давления обруча на цилиндр $N = mg \cos \phi - m \frac{v^{2} }{R + r}$. Закон сохранения энергии дает $\frac{v^{2} }{R + r} = g(1 - \cos \phi )$, следовательно,
$N = mg (2 \cos \phi - 1)$.
Условие начала скольжения
$F_{T} = F_{T \: max} = kN$.
Приравнивая соответствующие величины при $k = 0,5$, получаем: $\cos \phi = 0,8$; или высота от горизонта, на которой начинается скольжение, $h = R \cos \phi = 0,8R$.
Скольжение начнется в точке с угловой координатой $\phi_{*} = arccos 0,8$ или на высоте $0,8R$ от горизонтального диаметра цилиндрической поверхности.
Обруч радиуса $r$ свободно скатывается с вершины неподвижной цилиндрической поверхности радиуса $R > r$ (рис.). В какой точке поверхности начнется скольжение обруча? Коэффициент трения между обручем и поверхностью $k = 0,5$.
Решение:
Записываем уравнения динамики для скатывающегося обруча:
$ma_{n} = mg \cos \phi - N, ma_{ \tau} = mg \sin \phi - F_{т}$,
$I_{0} \dot{ \omega} = r F_{T}, a_{ \tau} = \dot{ \omega}r$,
где $a_{n} = \frac{v^{2}}{R + r}, a_{ \tau} = \frac{dv}{dt}$, $F_{T}$ - сила сухого трения, $N$ - сила нормального давления, $I_{0}$ - момент инерции обруча. Отсюда определяем силу трения $F_{T} = \frac{mg}{2} \sin \phi$ и силу нормального давления обруча на цилиндр $N = mg \cos \phi - m \frac{v^{2} }{R + r}$. Закон сохранения энергии дает $\frac{v^{2} }{R + r} = g(1 - \cos \phi )$, следовательно,
$N = mg (2 \cos \phi - 1)$.
Условие начала скольжения
$F_{T} = F_{T \: max} = kN$.
Приравнивая соответствующие величины при $k = 0,5$, получаем: $\cos \phi = 0,8$; или высота от горизонта, на которой начинается скольжение, $h = R \cos \phi = 0,8R$.
Скольжение начнется в точке с угловой координатой $\phi_{*} = arccos 0,8$ или на высоте $0,8R$ от горизонтального диаметра цилиндрической поверхности.
