Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13702
2020-03-12 
Человек на аттракционе "гигантские шаги" движется по замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота относительно положения равновесия меняется в пределах от $h_{min}$ до $h_{max}$. Определить максимальную и минимальную скорости человека при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается, равна $l$.
Решение:
На основании закона сохранения энергии
$v^{2} + 2gh = const$. (1)
Момент силы тяжести относительно точки подвеса не имеет вертикальной составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтому при движении человека вертикальная составляющая его момента количества движения остается неизменной. В положениях, где высота $h$ максимальна или минимальна, скорость человека $v$ горизонтальна, а момент количества движения равен $mvr$, где $r$ - расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих положениях величина $vr$ одна и та же. В момент, когда высота $h$ максимальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность с центром в точке подвеса О, проходящую через точку нахождения человека М (рис.). По известной геометрической теореме $r^{2} = AB \cdot BC$, или $r^{2} = (2l - h)h$. Поэтому в положениях, где $h$ максимальна и минимальна,
$(2l - h)hv^{2} = const$, (2)
Запишем соотношения (1) и (2) для этих положений, имея в виду, что максимуму $h$ соответствует минимум $v$, и наоборот. Получим:
$v_{max}^{2} + 2gh_{min} = v_{min}^{2} + 2gh_{max}$,
$(2l - h_{min} )h_{min} v_{max}^{2} = (2l - h_{max} ) h_{max}v_{min}^{2}$.
Решая эти уравнения, получим
$v_{max}^{2} = \frac{2gh_{max}(2l - h_{max} ) }{2l - (h_{max} + h_{min} ) }$, (3)
$v_{min}^{2} = \frac{2gh_{min}(2l - h_{min} ) }{2l - (h_{max} + h_{min} ) }$, (4)
При этом учтено, что в реальных условиях $h < l$, так что величина (3) действительно максимальна, а (4) - действительно минимальна. Если $h_{max}$ и $h_{min}$ пренебрежимо малы по сравнению с $l$, то $v_{max}^{2} = 2gh_{max}, v_{min}^{2} = 2gh_{min}$.
Человек на аттракционе "гигантские шаги" движется по замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота относительно положения равновесия меняется в пределах от $h_{min}$ до $h_{max}$. Определить максимальную и минимальную скорости человека при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается, равна $l$.
Решение:
На основании закона сохранения энергии
$v^{2} + 2gh = const$. (1)
Момент силы тяжести относительно точки подвеса не имеет вертикальной составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтому при движении человека вертикальная составляющая его момента количества движения остается неизменной. В положениях, где высота $h$ максимальна или минимальна, скорость человека $v$ горизонтальна, а момент количества движения равен $mvr$, где $r$ - расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих положениях величина $vr$ одна и та же. В момент, когда высота $h$ максимальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность с центром в точке подвеса О, проходящую через точку нахождения человека М (рис.). По известной геометрической теореме $r^{2} = AB \cdot BC$, или $r^{2} = (2l - h)h$. Поэтому в положениях, где $h$ максимальна и минимальна,
$(2l - h)hv^{2} = const$, (2)
Запишем соотношения (1) и (2) для этих положений, имея в виду, что максимуму $h$ соответствует минимум $v$, и наоборот. Получим:
$v_{max}^{2} + 2gh_{min} = v_{min}^{2} + 2gh_{max}$,
$(2l - h_{min} )h_{min} v_{max}^{2} = (2l - h_{max} ) h_{max}v_{min}^{2}$.
Решая эти уравнения, получим
$v_{max}^{2} = \frac{2gh_{max}(2l - h_{max} ) }{2l - (h_{max} + h_{min} ) }$, (3)
$v_{min}^{2} = \frac{2gh_{min}(2l - h_{min} ) }{2l - (h_{max} + h_{min} ) }$, (4)
При этом учтено, что в реальных условиях $h < l$, так что величина (3) действительно максимальна, а (4) - действительно минимальна. Если $h_{max}$ и $h_{min}$ пренебрежимо малы по сравнению с $l$, то $v_{max}^{2} = 2gh_{max}, v_{min}^{2} = 2gh_{min}$.
