Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13699
2020-03-12 
Математический маятник массы $m$ и стержень массы $M$ (рис.) подвешены к одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться. Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону, так что он приподнимается на высоту $h$ относительно своего нижнего положения. Затем шарик отпускают, и он сталкивается неупруго со стержнем. Как будут двигаться шарик и нижний конец стержня после удара и на какие высоты они поднимутся?
Решение:
Скорость шарика в нижнем положении до удара $v_{0} = \sqrt{2gH}$. Так как УДаР неупругий, то непосредственно после удара шарнк и нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость $v$. Она найдется из закона сохранения момента импульса относительно оси А
$mlv_{0} = mlv + I \omega$,
где $I = \frac{1}{3} Ml^{2}$ - момент инерции стержня относительно той же оси. Так как $v = m \omega$, то написанное уравнение дает
$v = \frac{ml^{2}}{I + ml^{2} }v_{0} = \frac{3m}{M + 3m}v_{0}$.
Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения двигаться вместе или при дальнейшем движении они разойдутся. С этой целью вычислим скорость шарика $v_{1}$ и нижнего конца стержня $v_{2}$ при поднятии на какую-то одну и ту же высоту $h_{1}$ если бы при этом они двигались независимо друг от друга. Эти скорости найдутся из уравнений сохранения энергии
$v^{2} - v_{1}^{2} = 2gh_{1}, \frac{1}{2} \frac{I}{l^{2}} (v^{2} - v_{2}^{2}) = Mg \frac{h_{1} }{2} $.
Преобразовав второе уравнение к виду
$v^{2} - v_{2}^{2} =3gh_{1}$,
видим, что $v_{1} > v_{2}$. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обогнать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик и стержень будут подниматься как единое тело. Высоту поднятия $h$ легко определить из закона сохранения энергии. Она равна
$h = \frac{I + ml^{2} }{(M + 2m)gl^{2} } v^{2} = \frac{6m^{2} }{(M + 2m)(M + 3m)} H$.
Математический маятник массы $m$ и стержень массы $M$ (рис.) подвешены к одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться. Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону, так что он приподнимается на высоту $h$ относительно своего нижнего положения. Затем шарик отпускают, и он сталкивается неупруго со стержнем. Как будут двигаться шарик и нижний конец стержня после удара и на какие высоты они поднимутся?
Решение:
Скорость шарика в нижнем положении до удара $v_{0} = \sqrt{2gH}$. Так как УДаР неупругий, то непосредственно после удара шарнк и нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость $v$. Она найдется из закона сохранения момента импульса относительно оси А
$mlv_{0} = mlv + I \omega$,
где $I = \frac{1}{3} Ml^{2}$ - момент инерции стержня относительно той же оси. Так как $v = m \omega$, то написанное уравнение дает
$v = \frac{ml^{2}}{I + ml^{2} }v_{0} = \frac{3m}{M + 3m}v_{0}$.
Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения двигаться вместе или при дальнейшем движении они разойдутся. С этой целью вычислим скорость шарика $v_{1}$ и нижнего конца стержня $v_{2}$ при поднятии на какую-то одну и ту же высоту $h_{1}$ если бы при этом они двигались независимо друг от друга. Эти скорости найдутся из уравнений сохранения энергии
$v^{2} - v_{1}^{2} = 2gh_{1}, \frac{1}{2} \frac{I}{l^{2}} (v^{2} - v_{2}^{2}) = Mg \frac{h_{1} }{2} $.
Преобразовав второе уравнение к виду
$v^{2} - v_{2}^{2} =3gh_{1}$,
видим, что $v_{1} > v_{2}$. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обогнать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик и стержень будут подниматься как единое тело. Высоту поднятия $h$ легко определить из закона сохранения энергии. Она равна
$h = \frac{I + ml^{2} }{(M + 2m)gl^{2} } v^{2} = \frac{6m^{2} }{(M + 2m)(M + 3m)} H$.
