Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13698
2020-03-12 
Шкивы двух маховиков соединены ремнем (рис.). Радиусы шкивов равны $R_{1}$ и $R_{2}$. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических осей равны $I_{1}$ и $I_{2}$. Удерживая второй маховик и ремень неподвижными, раскручивают первый маховик до угловой скорости $\omega_{0}$, вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение. Затем ремень и второй маховик отпускают. Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил трения скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, т. е. скорости после прекращения скольжения. Найти также потерю $\Delta K$ кинетической энергии на трение скольжения. Массой ремня пренебречь.
Решение:
Благодаря трению скольжения натяжения ремня сверху $T_{1}$ и снизу $T_{2}$ будут разными. Записывая для маховиков уравнения движения, получим
$I_{1} \frac{ d \omega_{1}}{dt} = (T_{1} - T_{2} )R_{1}; I_{2} \frac{d \omega_{2} }{dt} = (T_{2} - T_{1} )R_{2}$.
Поделим эти уравнения соответственно на $R_{1}$ и $R_{2}$, сложим и проинтегрируем. Тогда получим
$\frac{I_{1} \omega_{1} }{R_{1} } + \frac{I_{2} \omega_{2} }{R_{2} } = const$.
Входящая сюда постоянная равна $\frac{I_{1} \omega_{0} }{R_{1} }$, так как в начальный момент $\omega_{1} = \omega_{0}, \omega_{2} = 0$. Когда скольжение прекратится, то $\omega_{1}R_{1} = \omega_{2}R_{2}$. Решая полученную систему уравнений, найдем угловые скорости $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ после прекращения скольжения:
$\omega_{1} = \frac{I_{1}R_{2}^{2} }{I_{1}R_{2}^{2} + I_{2}R_{1}^{2} } \omega_{0}, \omega_{2} = \frac{I_{1}R_{1}R_{2} }{I_{1}R_{2}^{2} + I_{2}R_{1}^{2} } \omega_{0}$.
Потеря кинетической энергии на трение равна
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{I_{1}I_{2}R_{1}^{2} }{I_{1}R_{2}^{2} + I_{2}R_{1}^{2} } \omega_{0}^{2} $.
Шкивы двух маховиков соединены ремнем (рис.). Радиусы шкивов равны $R_{1}$ и $R_{2}$. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических осей равны $I_{1}$ и $I_{2}$. Удерживая второй маховик и ремень неподвижными, раскручивают первый маховик до угловой скорости $\omega_{0}$, вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение. Затем ремень и второй маховик отпускают. Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил трения скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, т. е. скорости после прекращения скольжения. Найти также потерю $\Delta K$ кинетической энергии на трение скольжения. Массой ремня пренебречь.
Решение:
Благодаря трению скольжения натяжения ремня сверху $T_{1}$ и снизу $T_{2}$ будут разными. Записывая для маховиков уравнения движения, получим
$I_{1} \frac{ d \omega_{1}}{dt} = (T_{1} - T_{2} )R_{1}; I_{2} \frac{d \omega_{2} }{dt} = (T_{2} - T_{1} )R_{2}$.
Поделим эти уравнения соответственно на $R_{1}$ и $R_{2}$, сложим и проинтегрируем. Тогда получим
$\frac{I_{1} \omega_{1} }{R_{1} } + \frac{I_{2} \omega_{2} }{R_{2} } = const$.
Входящая сюда постоянная равна $\frac{I_{1} \omega_{0} }{R_{1} }$, так как в начальный момент $\omega_{1} = \omega_{0}, \omega_{2} = 0$. Когда скольжение прекратится, то $\omega_{1}R_{1} = \omega_{2}R_{2}$. Решая полученную систему уравнений, найдем угловые скорости $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ после прекращения скольжения:
$\omega_{1} = \frac{I_{1}R_{2}^{2} }{I_{1}R_{2}^{2} + I_{2}R_{1}^{2} } \omega_{0}, \omega_{2} = \frac{I_{1}R_{1}R_{2} }{I_{1}R_{2}^{2} + I_{2}R_{1}^{2} } \omega_{0}$.
Потеря кинетической энергии на трение равна
$\Delta K = \frac{1}{2} \frac{I_{1}I_{2}R_{1}^{2} }{I_{1}R_{2}^{2} + I_{2}R_{1}^{2} } \omega_{0}^{2} $.
