Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13696
2020-03-12 
Для создания искусственной тяжести на космическом корабле, обращающемся вокруг Земли по круговой орбите, было предложено ускорять корабль до скорости $v$, превышающей первую космическую скорость. Для удержания корабля на круговой орбите при такой скорости включается двигатель, сообщающий кораблю ускорение, нормальное к траектории корабля. При какой скорости $v$ космонавт на корабле будет испытывать такую же "тяжесть", что и на Земле? Подсчитать расход топлива, который требуется для выведения корабля на круговую орбиту и последующего (однократного) облета по ней вокруг земного шара в этих условиях. Скорость газовой струи (относительно корабля) $u = 3 км/с$. Считать, что орбита проходит недалеко от поверхности Земли, и пренебречь изменением ускорения свободного падения $g$ с высотой.
Решение:
Если корабль движется по круговой орбите с постоянной скоростью $v$, то на тело массы $\mu$ в корабле действует центробежная сила инерции $\frac{ \mu v^{2}}{R}$, направленная от Земли. "Вес" тела на корабле получится вычитанием из нее силы гравитационного притяжения $\mu g$: $\mu \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \right )$. По условию эта величина должна равняться $\mu g$. Отсюда находим $v = \sqrt{2gR}$, т. е. корабль должен двигаться по круговой орбите с параболической (второй космической) скоростью $v_{п} = \sqrt{2gR} = 11,2 км/с$. Если $M_{0}$ - стартовая масса корабля, а $m_{0}$ - масса, с которой он выводится на круговую орбиту, то
$\frac{M_{0}}{m_{0}} = e^{ \frac{v_{п} }{u} }$. (1)
Найдем теперь расход массы при облете корабля вокруг земного шара. Уравнение движения имеет внд
$ma_{абс} = - u \frac{dm}{dt} + mg$,
где скорость газовой струи и направлена радиально от центра Земли. Так как при обращении корабля $v_{абс} \equiv a_{норм} = \frac{v_{п}^{2} }{R} = 2g$, то $m g = - u \frac{dm}{dt}$, или в скалярной форме $\frac{dm}{m} = - g \frac{dt}{u}$. Отсюда
$m = m_{0}e^{ - \frac{gt}{u} }$.
Если $t$ - период обращения, то $gt = \frac{2 \pi Rg}{v_{п}} = \pi v_{п}$. Следовательно, для конечной массы $m_{кон}$ получаем
$\frac{m_{0}}{m_{кон}} = e^{ \frac{ \pi v_{п} }{u} }$,
или на основании (1)
$\frac{M_{0} }{m_{кон} } = e^{ \frac{( \pi + 1 ) v_{п} }{u} } =e^{14,8} = 2,6 \cdot 10^{6}$.
Для создания искусственной тяжести на космическом корабле, обращающемся вокруг Земли по круговой орбите, было предложено ускорять корабль до скорости $v$, превышающей первую космическую скорость. Для удержания корабля на круговой орбите при такой скорости включается двигатель, сообщающий кораблю ускорение, нормальное к траектории корабля. При какой скорости $v$ космонавт на корабле будет испытывать такую же "тяжесть", что и на Земле? Подсчитать расход топлива, который требуется для выведения корабля на круговую орбиту и последующего (однократного) облета по ней вокруг земного шара в этих условиях. Скорость газовой струи (относительно корабля) $u = 3 км/с$. Считать, что орбита проходит недалеко от поверхности Земли, и пренебречь изменением ускорения свободного падения $g$ с высотой.
Решение:
Если корабль движется по круговой орбите с постоянной скоростью $v$, то на тело массы $\mu$ в корабле действует центробежная сила инерции $\frac{ \mu v^{2}}{R}$, направленная от Земли. "Вес" тела на корабле получится вычитанием из нее силы гравитационного притяжения $\mu g$: $\mu \left ( \frac{v^{2}}{R} - g \right )$. По условию эта величина должна равняться $\mu g$. Отсюда находим $v = \sqrt{2gR}$, т. е. корабль должен двигаться по круговой орбите с параболической (второй космической) скоростью $v_{п} = \sqrt{2gR} = 11,2 км/с$. Если $M_{0}$ - стартовая масса корабля, а $m_{0}$ - масса, с которой он выводится на круговую орбиту, то
$\frac{M_{0}}{m_{0}} = e^{ \frac{v_{п} }{u} }$. (1)
Найдем теперь расход массы при облете корабля вокруг земного шара. Уравнение движения имеет внд
$ma_{абс} = - u \frac{dm}{dt} + mg$,
где скорость газовой струи и направлена радиально от центра Земли. Так как при обращении корабля $v_{абс} \equiv a_{норм} = \frac{v_{п}^{2} }{R} = 2g$, то $m g = - u \frac{dm}{dt}$, или в скалярной форме $\frac{dm}{m} = - g \frac{dt}{u}$. Отсюда
$m = m_{0}e^{ - \frac{gt}{u} }$.
Если $t$ - период обращения, то $gt = \frac{2 \pi Rg}{v_{п}} = \pi v_{п}$. Следовательно, для конечной массы $m_{кон}$ получаем
$\frac{m_{0}}{m_{кон}} = e^{ \frac{ \pi v_{п} }{u} }$,
или на основании (1)
$\frac{M_{0} }{m_{кон} } = e^{ \frac{( \pi + 1 ) v_{п} }{u} } =e^{14,8} = 2,6 \cdot 10^{6}$.
