Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13693
2020-03-12 
Жесткие стержни образуют равнобедренный прямоугольный треугольник, который вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикального катета АВ (рис.). На стержень АС надета и скользит без трения муфта массы $m$. Муфта связана пружиной, с жесткостью $k$, с вершиной А треугольника, имеющей в нерастянутом состоянии длину $l$. Определить, при каком значении $\omega$ муфта будет в равновесии при недеформированной пружине? Будет ли это равновесие устойчивым?
Решение:
Запишем уравнение динамики для системы координат, вращающейся вместе с треугольником:
$m \vec{a}_{0m} = m \vec{g} + \vec{F}_{упр} + \vec{N} + \vec{F}_{K} + \vec{F}_{цб}$.
Здесь $\vec{N}$ - сила нормальной реакции, $\vec{F}_{K}$ -сила Кориолиса, $\vec{F}_{цб}$ - центробежная сила инерции. В проекции иа гипотенузу АС получим
$m \ddot{R} = - mg \cos \alpha - k (R - l) + m \omega^{2}R \sin^{2} \alpha$,
или
$\ddot{R} = - \frac{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha }{m} \left [ R - \frac{kl - mg \cos \alpha }{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha } \right ]$,
где $R$ - расстояние груза (координата) от точки А на гипотенузе. Полагая $\ddot{R} = 0$, определяем положение равновесия муфты:
$R^{*} = \frac{kl - mg \cos \alpha}{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha }$ ($k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha \neq 0 $);
приравнивая $R^{*} = l$, находим угловую скорость:
$\omega^{2} = \frac{g}{l} \frac{ \cos \alpha}{ \sin^{2} \alpha } = \frac{g}{l} \sqrt{2}$.
Если ввести смещение из положения равновесия $\xi = R - R^{*}$, то получим
$\ddot{ \xi} = - \frac{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha }{m} \xi$,
что для $k > m \omega^{2} \sin^{2} \alpha$ соответствует гармоническим колебаниям муфты около положения равновесия с частотой
$\Omega = \sqrt{ \frac{k}{m} - \omega^{2} \sin^{2} \alpha }$
и означает устойчивость положения равновесия.
$\omega^{2} = \frac{g}{l} \sqrt{2}$. Равновесие устойчиво, если $kl > mg \cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} } mg$.
Жесткие стержни образуют равнобедренный прямоугольный треугольник, который вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикального катета АВ (рис.). На стержень АС надета и скользит без трения муфта массы $m$. Муфта связана пружиной, с жесткостью $k$, с вершиной А треугольника, имеющей в нерастянутом состоянии длину $l$. Определить, при каком значении $\omega$ муфта будет в равновесии при недеформированной пружине? Будет ли это равновесие устойчивым?
Решение:
Запишем уравнение динамики для системы координат, вращающейся вместе с треугольником:
$m \vec{a}_{0m} = m \vec{g} + \vec{F}_{упр} + \vec{N} + \vec{F}_{K} + \vec{F}_{цб}$.
Здесь $\vec{N}$ - сила нормальной реакции, $\vec{F}_{K}$ -сила Кориолиса, $\vec{F}_{цб}$ - центробежная сила инерции. В проекции иа гипотенузу АС получим
$m \ddot{R} = - mg \cos \alpha - k (R - l) + m \omega^{2}R \sin^{2} \alpha$,
или
$\ddot{R} = - \frac{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha }{m} \left [ R - \frac{kl - mg \cos \alpha }{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha } \right ]$,
где $R$ - расстояние груза (координата) от точки А на гипотенузе. Полагая $\ddot{R} = 0$, определяем положение равновесия муфты:
$R^{*} = \frac{kl - mg \cos \alpha}{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha }$ ($k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha \neq 0 $);
приравнивая $R^{*} = l$, находим угловую скорость:
$\omega^{2} = \frac{g}{l} \frac{ \cos \alpha}{ \sin^{2} \alpha } = \frac{g}{l} \sqrt{2}$.
Если ввести смещение из положения равновесия $\xi = R - R^{*}$, то получим
$\ddot{ \xi} = - \frac{k - m \omega^{2} \sin^{2} \alpha }{m} \xi$,
что для $k > m \omega^{2} \sin^{2} \alpha$ соответствует гармоническим колебаниям муфты около положения равновесия с частотой
$\Omega = \sqrt{ \frac{k}{m} - \omega^{2} \sin^{2} \alpha }$
и означает устойчивость положения равновесия.
$\omega^{2} = \frac{g}{l} \sqrt{2}$. Равновесие устойчиво, если $kl > mg \cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} } mg$.
