Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13691
2020-03-12 
По гладкой внутренней поверхности чаши, имеющей форму параболоида вращения с вертикальной осью $z$, с высоты $h$ соскальзывает шарик массы $m$. Уравнение параболоида: $z = k( x^{2} + y^{2})$. Найти ускорение $a$ шарика и силу его давления $F$ на дно чаши в ее нижней точке.
Решение:
В нижней точке траектории шарик будет иметь ускорение $a_{N}$, направленное вверх. Поэтому давление шарика на дно чаши можно записать так: $F = m(g + a_{N} )$. Ускорение $a_{N}$ можно найти следующим образом. Дифференцируя уравнение параболоида два раза по времени, имеем: $\ddot{z} = 2k ( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} ) + 2k (x \ddot{x} + y \ddot{y} )$. Поэтому искомое ускорение шарика $a$ в нижней точке траектории, где $x = y = 0$, будет иметь значение
$a = \ddot{z}_{0} = aN = 2k ( \dot{x}_{0}^{2} + \dot{y}_{0}^{2}) = 2kv_{0}^{2}$, где $v_{0}^{2} = 2gh$. (1)
Следовательно, $\ddot{z}_{0} = a_{N} = 4kgh$. Заметим, что в изложенном приеме решения. обойдено вычисление радиуса кривизны параболы в ее нижней точке, который обычно бывает необходимо знать для вычисления нормального ускорения
$a_{N} = \frac{v^{2}}{ \rho}$, (2)
где $\rho$ - радиус кривизны траектории. Зная уравнение параболы, можно было бы методами дифференциальной геометрии найти значение
$\rho = \frac{1}{2k}$. (3)
Тогда, используя выражения (1) - (3), можно найти значение $a_{N}$ иначе, чем это было сделано выше.
$F = (1 + 4kh)mg, a = 4kgh$.
По гладкой внутренней поверхности чаши, имеющей форму параболоида вращения с вертикальной осью $z$, с высоты $h$ соскальзывает шарик массы $m$. Уравнение параболоида: $z = k( x^{2} + y^{2})$. Найти ускорение $a$ шарика и силу его давления $F$ на дно чаши в ее нижней точке.
Решение:
В нижней точке траектории шарик будет иметь ускорение $a_{N}$, направленное вверх. Поэтому давление шарика на дно чаши можно записать так: $F = m(g + a_{N} )$. Ускорение $a_{N}$ можно найти следующим образом. Дифференцируя уравнение параболоида два раза по времени, имеем: $\ddot{z} = 2k ( \dot{x}^{2} + \dot{y}^{2} ) + 2k (x \ddot{x} + y \ddot{y} )$. Поэтому искомое ускорение шарика $a$ в нижней точке траектории, где $x = y = 0$, будет иметь значение
$a = \ddot{z}_{0} = aN = 2k ( \dot{x}_{0}^{2} + \dot{y}_{0}^{2}) = 2kv_{0}^{2}$, где $v_{0}^{2} = 2gh$. (1)
Следовательно, $\ddot{z}_{0} = a_{N} = 4kgh$. Заметим, что в изложенном приеме решения. обойдено вычисление радиуса кривизны параболы в ее нижней точке, который обычно бывает необходимо знать для вычисления нормального ускорения
$a_{N} = \frac{v^{2}}{ \rho}$, (2)
где $\rho$ - радиус кривизны траектории. Зная уравнение параболы, можно было бы методами дифференциальной геометрии найти значение
$\rho = \frac{1}{2k}$. (3)
Тогда, используя выражения (1) - (3), можно найти значение $a_{N}$ иначе, чем это было сделано выше.
$F = (1 + 4kh)mg, a = 4kgh$.
